Hallo zusammen, folgende Aufgabe beschäftigt mich:
Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Funktionen:
f(x)= -x-1 für XER ]-∞,-1]
g(x) = 3x -1 für XER [1,∞[
Frage 1:
Auf dem Intervall [-1,1] ist eine Funkion gesucht, welche f(x) und g(x) miteinander verbindet. Zunächst soll durch eine lineare Funkion p0(x)= a0 +b0x mit reellen Koeffizienten a0 und b0 eine stetige Funktion hergestellt werden.
a) Fertigen Sie eine Skizze der Problemstellung an:
Antwort: Grafische Darstellung der beiden geraden mit f(x) und g(x) auf den angegebenen Intervallen.
b) Bestimmen Sie a0 und b0 so, dass die aus f(x), p0(x) und g(x) zusammengesetzte Funktion stetig auf ganz R ist.
Antwort: p0(x) = x+1 XER [-1,1]
Frage 2:
Nun soll durch ein Polynom p(x)=a+bx+cx2+dx3 mit reellen Koeffizienten a,b,c und d sogar eine differenziertere Verbindung hergestellt werden.
c) Ergänzen Sie Ihre Skizze aus a) so, dass die erweiterte Probelmbeschreibung deutlich wird.
Antwort: Grafische Darstellung der differenzierbaren Verbindung zwischen f(x) und g(x)
d) Bestimmen Sie nun die Koeffizienten a,b,c und d so, dass die aus f(x),p(x) und g(x) zusammengesetzte Funktion auf ganz R stetig und differenzierbar ist.
Antwort: Hier habe ich als Lösungsansatz x3+1 XER [-1,1]
Problem/Ansatz:
Nun bin ich mir nicht sicher, ob Aufgabenteil d stimmt.
Um Differenzierbarkeit nachzuweisen muss man doch die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung bilden. Anschließend folgt aus Differenzierbarkeit auch Stetigkeit.
Leider kann ich meine Graphische Darstellung nicht hochladen, da das Format nicht unterstützt wird.
Ich stehe etwas auf dem Schlauch und bin mir nicht sicher ob das richtig ist...
Vielen Dank im Voraus!
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