Kann es auf einer abzählbar unendlichen Ergebnismenge konstante Wahrscheinlichkeitsfunktionen geben?

Question

Aufgabe:

Kann es auf einer abzählbar unendlichen Ergebnismenge konstante Wahrscheinlichkeitsfunktionen geben? Warum ja bzw. warum nein?

Problem/Ansatz:

Gibt es ein Beispiel für eine konstante Wahrscheinlichkeitsfunktion? Meiner Meinung nach gibt es keine, da bei einem Zufallsexperiment, der Ausgang immer vom Zufall gesteuert ist und deshalb nie ein Konstanter Wert erscheinen kann.

Answer 1

Eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion tritt z.B. beim Würfeln auf, denn für jedes Ereignis gilt p=1/6. Man spricht dann von einer Gleichverteilung.

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) muss folgende Bedingungen erfüllen:

\( \int\limits_{E}^{} f(x) dx = 1, \, f(x) >= 0 \)

Integriert wird über die Ereignismenge E, die beim Würfeln, allgemeiner im diskreten Fall, abzählbar gross ist. Im stetigen Fall entspricht das Integral der Form

\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \)

Ist das Integrationsgebiet (die Ereignismenge) abzählbar unendlich gross, ist diese Bedingungen nur dann erfüllbar, wenn f(x) stückweise konstant ist, z.B.

f(x) = \( \frac{1}{b-a} \) für x € [a,b]

f(x) = 0 sonst

"stückweise konstant" ist aber nicht gleich "konstant". Somit kann es keine konstante Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf einer abzählbar unendlichen Ergebnismenge geben. Ich lerne aber gerne dazu.

Comments

Wenn in der Aufgabe nach abzählbar vielen Ergebnissen gefragt wird, würde ich nicht mit dem Integral argumentieren, was eher auf kontinuierliche Mengen passt (auch wenn im Prinzip eine Reihe auch nur ein Integral ist).

Wir haben Ereignisse \(E_i\) mit Wahrscheinlichkeiten \(p_i\) mit \(i \in \mathbb{N}\). Dann muss gelten:

$$\sum_{i=1}^{\infty}p_i=1$$

(wenn die E_i zusammenden ganzen Raum ausmachen). Also können die p_i nicht konstant sein.