Wann ist eine Teilmenge Lebesgue-meßbar?

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe besteht daraus, dass ich für Mengen sagen soll, ob diese Lebesgue messbar sind oder nicht und ob das Maß endlich ist. Eine wäre z.B.:
$$B:=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{k-1}{k+1},\frac{k}{k+2}\right]\times \left(\frac{1}{k},k\right]\subset\mathbb{R}^2$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier jedoch nicht wie ich die Definition des Lebesgue Maßes(Wiki) anwenden kann.

Answer 1

Hallo, da für alle \(k\in\mathbb{N}\) gilt

$$\overbrace{\underbrace{\left(\frac{k-1}{k+1},\, \frac{k}{k+2}\right]}_{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})} \times \underbrace{\left(\frac1k,\,k\right]}_{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}^{:=A_k}\in\mathcal{B}(\mathbb{R^2}),$$ ist \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R^2})\) als abzählbare Vereinigung messbarer Mengen.

Es gilt jedoch \(\lambda^2(B) = \infty\), da \(A_k\) paarweise disjunkt sind und damit

$$ \lambda^2(B) = \lambda^2\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda^2\left(A_k\right) \newline = \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{k+2}-\frac{k-1}{k+1}\right)\cdot\left(k-\frac1k\right)= ... = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k-2}{k^2+2k} = \infty$$