Differenzieren von y = (ax+b)^2. Ergebnis mit Hilfe des Grenzwertverfahrens überprüfen

Question

Die Aufgabenstellung lautet: Differenzieren sie die folgenden Funktionen durch Anwendung der Ableitungsregeln und überprüfen sie das Ergebnis mit Hilfe des Grenzwertverfahrens.

a) y= -3x+8 dazu die Ableitung y'=-3

b)y= (ax+b)²        y'=  2*a^2-1

 

Bin mir bei der zweiten Ableitung nicht sicher. Es gibt viele Formeln des Grenzwertverfahrens ich weiß nicht welche ich nehmen muss.

Answer 1

1.) Die Ableitung ist richtig ausgerechnet, das Grenzwertverfahren funktioniert über den Differenzenquotienten:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { - 3 · ( x + h ) + 8 - ( 3 x + 8 ) } { h } \\ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { - 3 h } { h } = - 3 $$

2.) Diese Ableitung hast du nicht richtig gerechnet! Du musst hier die Kettenregel anwenden und erhältst:

f'(x)=2*(ax+b)*a=2ab + 2a²x

Mit dem Grenzwertverfahren:

$$ \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x ) = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \frac { ( a ( x + h ) + b ) ^ { 2 } - ( a x + b ) ^ { 2 } } { h } } \\ { = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \frac { a ^ { 2 } ( x + h ) ^ { 2 } + 2 a b ( x + h ) + b ^ { 2 } - a ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 a b x - b ^ { 2 } } { h } = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \frac { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } x h + a ^ { 2 } h ^ { 2 } + 2 a b h - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { h } } \\ { = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \frac { 2 a ^ { 2 } x h + 2 a b h + a ^ { 2 } h ^ { 2 } } { h } = \lim \limits _ { h \rightarrow 0 } \left( 2 a ^ { 2 } x + 2 a b + a ^ { 2 } h \right) = 2 a ^ { 2 } x + 2 a b } \end{array} $$

Comments

Kann man statt h auch Δx einsetzen ?

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Ja, das geht auch. Außerdem kann man den Differenzenquotienten auch als

(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

definieren, allerdings ist das fast immer schwerer zu rechnen, da man dann immer eine Polynomdivision durchführen muss.

Answer 2

y = (ax+b)^2

Ableitung über Kettenregel (u(v))' = u'(v) * v'

y' = 2*(ax+b)*a = 2a*(ax+b) = 2a^2·x + 2ab

Ich mache die Ableitung mal mit der h-Methode. Also Grenzwert für h→0

lim h→0 [Ich lasse das jetzt mal in den folgenden Zeilen Weg, damit es übersichtlicher wird.

(f(x+h) - f(x)) / h
= ((a·(x + h) + b)^2 - (ax + b)^2) / h
= ((ax + ah + b)^2 - (ax + b)^2) / h
= ((a^2·x^2+2a^2·hx + 2abx + a^2·h^2 + 2abh + b^2) - (a^2·x^2 + 2abx + b^2)) / h
= (2a^2·hx + a^2·h^2 + 2abh) / h
= 2a^2·x + a^2·h + 2ab

Für lim h→0

= 2a^2·x + 2ab

Das war zu zeigen.