alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms p berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms p mit

\( p(z)=z^{3}+13 \cdot z+34 \)

Lösungsmenge:

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg zeigen

wie man auf die Lösungsmenge kommt.

Answer 1

Hallo,

ich probiere aus.

z=1 bringt nichts.

z=2: Jetzt wird's interessant! ...8...26 +34=0

8+26=34

Also ist z=-2 eine Lösung.

(z+2) ausklammern:

0=z³+13z+34

0=z²•z + z²•2 -z•2z - 2•2z + 17•z +17•2

0=(z+2)(z²-2z+17)

z+2=0

oder

z²-2z+17=0 → Quadratische Gleichung

z=1±√(1-17)=1±√(-16)=1±4i

z=-2 oder z=1-4i oder z=1+4i

--> Fertig

:-)

Comments

ok danke aber wie genau kann ich die hoch 3 in eine hoch 2 abändern

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Polynomdivision

(z³+13z+34)/(z+2)

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

Alternativ das Horner-Schema an der Nullstelle x = - 2 verwenden

y = z^3 + 0·z^2 + 13·z + 34

1	0	13	34
0	- 2	4	- 34
1	- 2	17	0

Restpolynom

y = z^2 - 2·z + 17 = 0 --> z = 1 ± 4·i