Berechne folgendes unbestimmtes Integral.

Question

Aufgabe:

Berechne folgendes unbestimmtes Integral:

∫ sin(x) · e^2x dx

Problem/Ansatz

Ich habe es mit der partiellen Integration bereits versucht.

Mein u war sin(x) und mein v' war e^2x. Jedenfalls hab ich das Problem, dass ich ewig oft integriere, aber nie zu einer Lösung komme, die man eventuell "zusammenfassen" könnte. Auf YouTube findet man ähnliche Beispiele, aber nur welche, wo man in der e Funktion nur ein x hat und kein 2x. Mit e^x könnte man das ganz einfach zusammenfassen, da sich die e Funktion nach dem Integrieren nicht ändert. Durch das 2x ändert sich der Faktor jedoch immer um \( \frac{1}{2} \)  nach jeder Integration.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde hier eine doppelte partielle Integration wählen:$$I\coloneqq\int\underbrace{\sin(x)}_{u}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{v'}\,dx=\underbrace{\sin(x)}_{u}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{2}}_{v}-\int\underbrace{\cos(x)}_{u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{2}}_{v}\,dx$$$$\phantom I=\sin(x)\cdot\frac{e^{2x}}{2}-\int\underbrace{\cos(x)}_{f}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{2}}_{g'}\,dx$$$$\phantom I=\sin(x)\cdot\frac{e^{2x}}{2}-\left(\underbrace{\cos(x)}_{f}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{4}}_{g}-\int\underbrace{(-\sin(x))}_{f'}\cdot\underbrace{\frac{e^{2x}}{4}}_{g}\,dx\right)$$$$\phantom I=\sin(x)\cdot\frac{e^{2x}}{2}-\cos(x)\cdot\frac{e^{2x}}{4}-\frac14\cdot\underbrace{\int\sin(x)\cdot e^{2x}\,dx}_{=I}$$Jetzt bringst du das verbliebene Integral auf die linke Seite:$$\frac54I=\frac54\int\sin(x)\cdot e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{4}\left(2\sin(x)-\cos(x)\right)$$$$\int\sin(x)\cdot e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{5}\left(2\sin(x)-\cos(x)\right)$$Das kannst du natürlich noch mit einer Integrationskonstanten dekorieren ;)

Comments

Hey, danke für die Antwort.

Wo ist denn das Vorzeichen bei f' also -sin(x) geblieben?

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Drei Mal Minus (eins vor der großen öffnenden Klammer, eins vor dem Integral und eins direkt vor der Sinus-Funktion) wurde zu einem Minus vor dem letzten Integral zusammengefasst.

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Achso, verstehe.

Sieht man nicht direkt. xD
Vielen Dank!