Aufgabe:
(a) Seien \( n, k \in \mathbb{N}, D \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen und \( f, g \in C^{k}(D, \mathbb{R}) \). Zeigen Sie, dass dann auch \( f g \) in \( C^{k}(D, \mathbb{R}) \) liegt und dass
\( \partial^{\alpha}(f g)=\sum \limits_{\beta \leq \alpha}\left(\begin{array}{l} \alpha \\ \beta \end{array}\right) \partial^{\beta} f \partial^{\alpha-\beta} g \quad \text { für alle } \alpha \in \mathbb{N}_{0}^{n} \text { mit }|\alpha| \leq k . \)
Hierbei bedeuten \( \beta \leq \alpha \), dass \( \beta_{j} \leq \alpha_{j} \) für alle \( j \in\{1, \ldots, n\} \) und \( \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1} \\ \beta_{1}\end{array}\right) \cdots\left(\begin{array}{c}\alpha_{n} \\ \beta_{n}\end{array}\right) \), \( |\alpha|:=\left|\alpha_{1}+\cdots+\right| \alpha_{n} \mid \) sowie \( \partial^{\alpha} f=\partial_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial_{n}^{\alpha_{n}} f \) für \( \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right) \in \mathbb{N}_{0}^{n} \).
(b) Es seien \( n \in \mathbb{N}, u \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}\right) \) und \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) orthogonal, d.h., es gelte \( A^{T} A=I \). Zeigen Sie
\( \triangle(u \circ A)=(\triangle u) \circ A . \)
Folgern Sie, dass \( u \circ A \) harmonisch ist, falls \( u \) harmonisch ist.
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand die Aufgabe ausführlich bzw rechnerisch zeigen?
