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Wenn du die Matrixmultiplikation durchführst, erhältst du als Abbildung \(L\):$$L(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\left[\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]$$$$\phantom{L(x_1;x_2)}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=(x_1+x_2)\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}$$
Um alle möglichen Werte der Funktion \(L(x_1;x_2)\) darzustellen braucht du eine Linearkombination aus zwei Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), die nicht parallel oder antiparallel zueinander liegen. Daher liegen alle Werte von \(L(x_1;x_2)\) in der Ebene, die von den beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird. Die Dimension ist also \(2\).