Lineare Abbildungen als Spannraum angeben

Question

Aufgabe:

Geben Sie das Bild der linearen Abbildung

\( L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad L(x)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \)

als Spannraum an und bestimmen Sie dessen Dimension.

Problem/Ansatz:

Soweit ich es verstanden habe, will ich ein Vektor mit zwei Werten auf ein Vektor mit drei Werten abbilden. Muss ich die beiden Matrizen einfach mulitiplizieren und wär fertig?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du die Matrixmultiplikation durchführst, erhältst du als Abbildung \(L\):$$L(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\left[\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]$$$$\phantom{L(x_1;x_2)}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=(x_1+x_2)\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}$$

Um alle möglichen Werte der Funktion \(L(x_1;x_2)\) darzustellen braucht du eine Linearkombination aus zwei Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), die nicht parallel oder antiparallel zueinander liegen. Daher liegen alle Werte von \(L(x_1;x_2)\) in der Ebene, die von den beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird. Die Dimension ist also \(2\).

Comments

Dankeschön! Ich denke ich hab es verstanden. Nochmal zum Verständnis (Habe einfach die Zahlen ein bisschen geändert): Wäre es

\(\quad L(x)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 10 \\ 2 & 2 \\ 3 & 10 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \) würde am Ende

\(\phantom{L(x_1;x_2)}=(x_1+x_2)\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}9\\0\\7\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}\)

rauskommen? (Dimension wäre immer noch 2?)

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Ja, durch die \(0\) als zweite Koordinate erkennt man sofort, dass die beiden Basisvektoren linear unabhängig sind.

Ein Beispiel mit Dimension \(1\) wäre zum Beispiel das hier:$$L(x)=\begin{pmatrix}1 & 3\\2 & 6\\3 & 9\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}$$$$\phantom{L(x)}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+3x_2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=(x_1+3x_2)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$Egal, welche Werte du für \(x_1\) und \(x_2\) wählst, die Punkte von \(L(x)\) liegen immer auf einer Geraden durch den Urpsrung.

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Vielen Dank, auch für das 3. Beispiel. Ich hab es endlich verstanden!! =)