Beweisaufgabe zu harmonischen Funktionen

Question

Seien \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 3 \) und \( u: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}_{1} u(x):=\|x\|_{2}^{2-n} \). Zeigen Sie:

\( (\triangle u)(x):=\sum \limits_{j=1}^{n} \partial_{j j} u(x)=0 \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R}^{3} \backslash\{0\} . \)

Comments

Warum rechnest Du das nicht einfach nach, Du brauchst doch nur differenzieren.

Answer 1

$$ \frac{\partial}{\partial x_i} \| x \|_2^{2-n} = (2-n) \| x \|_2^{1-n} \frac{1}{2} \| x \|_2^{-1} 2x_i = (2-n) \| x \|_2^{-n} x_i $$

$$ \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \| x \|_2^{2-n} = (2-n) \left[ -n \| x \|_2^{-n-1} \frac{1}{2} \| x \|_2^{-1} 2 x_i^2 + \| x \|_2^{-n}  \right] =  (2-n) \left[ -n \| x \|_2^{-n-2} x_i^2 +\| x \|_2^{-n} \right] $$

$$ \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \| x \|_2^{2-n} = (2-n) \left[ -n \| x \|_2^{-n} + n \| x \|_2^{-n} \right] = 0 $$