Newton-Verfahren mit einer kubischen Funktion

Question

Aufgabe:

Eine kubische Funktion ist gegeben durch die folgenden Punkte. Ermitteln Sie die Funktion und berechnen Sie ihre Nullstellen mit Hilfe des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x_{0}=2.

Geben Sie die Folgeglieder, die sich aus Newton Verfahren ergeben bis zum Folgeglied x_3 an.

Nullstelle:f(0)=0

Extrem Punkte;f(2/3)=-4/27 und f(0)=0

f(1/3)=-2/27

Problem/Ansatz:

Comments

Und was ist Deine Frage dazu?

Answer 1

Du hast ja schon f(x) = x^3 - x^2. Also f ' (x) = 3x^2 - 2x

Newton-Verf. mit xo = 2 gibt

\(  x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 -  \frac{4}{8}=\frac{3}{2}  \)

\(  x_2= x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{3}{2} - \frac{f(\frac{3}{2})}{f'(\frac{3}{2})}=  \frac{6}{5} \)   etc.

Answer 2

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(2/3) = -4/27
f'(2/3) = 0

Gleichungssystem

d = 0
c = 0
8/27·a + 4/9·b + 2/3·c + d = -4/27
4/3·a + 4/3·b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = x^3 - x^2 = x^2·(x - 1)

Nun kann man eigentlich die Nullstellen bei 0 und 1 ablesen. Ok. Macht man mal das Newtonverfahren an der Stelle x0 = 2

x_neu = x - f(x)/f'(x)

x0 = 2
x1 = 3/2
x2 = 6/5
x3 = 21/20
x3 = 231/230

Ok da wird jetzt wohl als Grenzwert 1 herauskommen.