Bestimmen einer kubischen Funktion

Question

Ich brauche eure Hilfe bei diesen Aufgaben! Das ist dass neue Thema in der Schule und bin noch nicht so gut darin :). Seid mir also bitte nicht böse, wenn ich öfters Fragen stelle. Ich bedanke mich schon mal im Voraus!

Die Aufgabe:

Wenn man zwei Punkte einer linearen Funktion kennt, kann man zwei Gleichungen aufstellen und die Funktionsgleichung daraus ermitteln. Kennt man drei Punkte einer quadratischen Funktion, kann man drei Gleichungen aufstellen und damit die Funktionsgleichung ermitteln.

Eine kubische Funktion hat den Grad 3 und lautet: f(x) = a3 * x³ + a2 * x² + a1 * x + a0

Um die Parameter a3, a2, a1 und a0 zu bestimmen, benötigt man vier Gleichungen. Sind also vier Punkte, die auf dem Graphen liegen, gegeben, kann man durch Einsetzen der x- und y-Koordinaten die vier Gleichungen aufstellen und dann die Parameter berechnen.

Im ersten Schritt stellt man die vier Gleichungen auf und im zweiten Schritt löst man das LGS² mit vier Unbekannten.

a) Berechne die Funktion 3. Grades, die durch die Punkte A(0/-4), B(1/-1), C(-2/-46) und D(3/89) verläuft.

b) Berechne die Funktion 3. Grades, die durch die Punkte A(-3/-38), B(1/2), C(0/1) und D(4/53) verläuft.

c) Berechne die Funktion 3. Grades, die durch die Punkte A(1/-1), B(2/-24), C(-3/51) und D(5/-405) verläuft.

Answer 1

Für Aufgabe (a) lautet das Gleichungssystem:

a₃ · 0³ + a_{2 ·} 0² + a_{1 ·} 0¹ + a₀ =  - 4

a₃ · 1³ + a₂ · 1² + a₁ · 1¹ + a₀ =  - 1

a₃ · (-2)³ + a₂ · (-2)² + a₁ · (-2)¹ + a₀ =  - 46

a₃ · 3³ + a₂ · 3² + a₁ · 3¹ + a₀ =  89

Comments

Wenn ich das richtig verstehe, muss ich nur die vier x - Werte einsetzen ?

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und wie sind sie auf die -4 gekommen?

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In Punkt A ist  x = 0  und y = -4 .

Answer 2

Das ist eine ziemlich sture Rechnerei, kannst Du hier

https://www.geogebra.org/m/Qaed4y4Y

erledigen.

Bei Unklarheiten Rückfragen...

Answer 3

c) Berechne die Funktion 3. Grades, die durch die Punkte A(1/-1), B(2/-24), C(-3/51) und D(5/-405) verläuft.

Ich nenne die Koeffizienten a, b, c und d. (Ist leichter zu tippen. :-))

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~~~~~\)

\(A(1|-1) ~~~~\Rightarrow~~~ -1=a+b+c+d~~~~~(I)\)

\(B(2|-24)~~\Rightarrow ~-24=8a+4b+2c+d~~~~~(II) \)

\(C(-3|51)~~~~\Rightarrow~~~~~~ 51=-27a+9b-3c+d ~~~~~(III)\)

\(D(5|-405)\Rightarrow ~-405=125a+25b+5c+d~~~~~(IV) \)

Zweite, dritte und vierte Gleichung minus erste, um d wegzubekommen.

\(-23=7a+3b+c~~~~~(V)\)

\(52=-28a+8b-4c \overset{:4}{\Rightarrow} 13=-7a+2b-c~~~~~(VI)\) 

\(-404=124a+24b+4c \overset{:4}{\Rightarrow} -101=31a+6b+c~~~~~(VII)\)

\((V)+(VI):~~~-10=5b \overset{:5}{\Rightarrow} b=-2\)

\((VII)+(VI):\)

\(~~~-88=24a+8b\overset{:8}{\Rightarrow}-11=3a+b\Rightarrow -11=3a-2 \Rightarrow a=-3\)

\(a\) und \(b\) in \((V)\) einsetzen:

\(-23=7\cdot(-3)+3\cdot(-2)+c\Rightarrow c=4\)

\((I)\Rightarrow -1=-3-2+4+d\Rightarrow d=0\)

Ergebnis:

$$ f(x)=-3x^3 -2x^2 +4x$$