lokaler Diffeomorphismus bestimmen mit Jacobi-Matrix und dessen Determinante

Question

Guten Tag!

Gegeben ist f:ℝ²->ℝ² , (x,y) ↦ (e^xcos(y) , e^xsin(y)), zu bestimmen ist die Menge in der f ein lokaler Diffeomorphismus ist, sowie das Bild im Intervall von D := [(0,0) , (1,1)] und angeben ob f darin ein Diffeomorphismus ist.

Also ich habe die Jacobi-Matrix bestimmt und dessen Determinante berechnet.
Dafür hab ich raus e^2x.

Meine Folgerung war daraus, dass f ein lokaler Diffeomorphismus ist für x > 0.
Damit wäre f(D) ein Diffeomorphismus.
Die Bildmenge anzugeben bereitet mir jedoch Probleme, ich habe mir die Funktion mal in GeoGebra angeschaut und hab keine Ahnung wie ich die Menge genau bestimmen kann.

Daher meine Frage, hab ich das soweit richtig gemacht mit Jacobi-Matrix, Determinanten und dem daraus gefolgertem?

Comments

Liegt in der 2. Komponente von f ein Druckfehler vor? Wenn ja, denk mal an Polarkoordinaten?

Warum verlangst Du x>0?

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Ja, da hab ich mich verschrieben, in der 2. Komponente sollte e^xsiny stehen.

Also ich nahm an es müsste x > 0 sein, da es ja darum geht, das (x,y) ∈ f(ℝ²) gilt.
Aber wenn ich jetzt so darüber nachdenke macht x > 0 wenig Sinn.

Answer 1

Hallo,

sollte das in der zweiten Komponente \(e^x\sin(y)\) heißen dann:

die Funktionaldeterminante hast du richtig berechnet. Weiter ist \(f\) surjektiv und stetig diffferenzierbar. Du kannst mit der Determinante aber nur auf lokale Umkehrbarkeit schließen, global ist sie nicht umkehrbar, da wegen \(f(x,y+2k\pi)=f(x,y)\) für alle \(k\in \mathbb{Z}\) die Funktion offenbar nicht injektiv und damit erst recht nicht bijektiv ist.

Du kannst die Injektivität erzwingen, indem du dich auf \(D=\mathbb{R}\times (-\pi, \pi)\) beschränkst.

Comments

Ahh ich denke ich hab es verstanden.
Also die stetige Differenzierbarkeit ist ja offensichtlich.
Da die Funktionaldeterminante in jedem Punkt ungleich null ist, ist f in jedem Punkt invertierbar.
Nun bleibt nur noch die Bijektivität. Surjektivität ist soweit offensichtlich, jetzt geht es darum noch Injektivität zu haben und diese ist dann der Fall wenn ich y auf ein offenes Intervall einschränke der Größe 2π.