Zeigen Sie, dass Ψ um jeden Punkt (x, y) ≠ (0, 0) ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Sei ψ:: R²->R²  definiert durch  Ψ(x, y) := (xy, x⁴ − y⁴) ∀(x, y) ∈ R²

Zeigen Sie, dass Ψ um jeden Punkt (x, y) ≠ (0, 0) ein lokaler Diffeomorphismus ist.
Problem/Ansatz:

Reicht hier die Determinante der JacobiMatrix    die det(J(x,y))=(y*-4y³)-(x*4x³) oder dann -4y⁴ -4x⁴  Die Determinate ist ja ungleich 0 für x ungleich y und xund y ungleich 0 aber reicht das jetzt ?

Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Ja, das reicht. Deine Determinante ist ja \(-(x^4+y^4)< 0\)

für alle \((x,y)\neq (0,0)\).

Deine Bemerkung bzgl. \(x\neq y\) ist überflüssig.