Betrag von einem Vektorprodukt mit Minus im Binomen

Question

Aufgabe:

Was ist der Wert für y wenn der Betrag von diesem Vektor (9y-29/36/8)=4*(101)^0.5 ist?

Problem/Ansatz:

(81y^2+522y+841+1296+64)^0.5=4*(101)^0.5 → y1=-5 y2=-1.44 aber in den Lösungen steht was anderes

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Was steht denn in den Lösungen?

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Y1= 7 und y2= -65

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Ich kann mich mit keiner der Lösungen anfreunden.

Zumindest solltest Du aber mit -522y weiterrechnen!

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Danke für eure Antworten. Die Aufgabe, die zu dieser Rechung geführt hat, ist übrigens:

"Gegeben sind die beiden Punkte A(4/3/1) und B(4/5-8).Gesucht sind alle Punkte C der y-Achse, sodass ABC ein Dreieck mit dem Inhalt 2(101)^0.5 wird."

Habe AB×AC gerrechnet worauf ich auf den gennanten (n-)Vektor gekommen bin. Glaube aber nicht, dass mir bis dahin ein Rechenfehler passiert ist.

Also wird wohl die Lsg im Heft falsch sein und 5 bzw 13/9 richtig sein...

Answer 1

Aloha :)

$$\left\|\begin{pmatrix}9y-29\\36\\8\end{pmatrix}\right\|=4\sqrt{101}\quad\bigg|\text{Betrag als Wurzel schreiben}$$$$\sqrt{(9y-29)^2+36^2+8^2}=4\sqrt{101}\quad\big|\text{2-te binomische Formel}$$$$\sqrt{(9^2y^2-2\cdot9\cdot29\,y+29^2)+36^2+8^2}=4\sqrt{101}\quad\big|\text{Soweit wie möglich ausrechnen}$$$$\sqrt{81y^2-522y+2201}=4\sqrt{101}\quad\big|\text{quadrieren}$$$$81y^2-522y+2201=1616\quad\big|-1616$$$$81y^2-522y+585=0\quad\big|\div9$$$$9y^2-58y+65=0\quad\big|\text{Faktorisieren}$$$$(y-5)\cdot(9y-13)=0$$Wenn du das Faktorisieren nicht "siehst", kannst du alternativ auch mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel rechnen. In jedem Fall lauten die beiden möglichen Lösungen:$$y=5\quad\lor\quad y=\frac{13}{9}$$

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Vielen Dank. Ich bin auf -5 gekommen, weil ich fälschlicherweise nur den Betrag von (9y-29)^2 genommen habe. Aber 5 und 13/9 macht mehr Sinn.

Answer 2

|[9y - 29, 36, 8]| = 4·√101

Direkt quadrieren

(9y - 29)^2 + 36^2 + 8^2 = 4^2·101

Jede Gleichung, welche die Unbekannte nur an einer Stelle stehen hat, kann direkt zur Unbekannten aufgelöst werden.

(9y - 29)^2 = 4^2·101 - 36^2 - 8^2

(9y - 29)^2 = 256

9y - 29 = ± 16

9y = 29 ± 16

y = (29 ± 16) / 9

y₁ = (29 - 16) / 9 = 13/9

y₂ = (29 + 16) / 9 = 5

Ausmultiplizieren mithilfe einer binomischen Formel, aufwendiges Faktorisieren oder gar das Anwenden einer quadratischen Lösungsformel sind überhaupt nicht notwendig.

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Sehr elegant. Danke