Produktidentitäten zeigen mit Levi Civitas Symbol und Vektorprodukt

Question

Produktidentitäten:

Ich habe als Thema Produktidentitäten und ich bin extrem verwirrt.

Ich hatte als Aufgabe gegeben, dass ich 1) Graßmann Identität, 2) und 3) Lagrange Identität zeigen soll, mithilfe des Levi Civitas Symbols, mit dem sich das Vektorprodukt darstellen lässt.

Ich habe irgendwie absolut nicht verstanden, wie genau ich es alles ablesen soll. Ich soll das alles als Summenformel darstellen, allerdings verstehe diese Anwendung nicht. Ich habe bei meinen Kommilitonen geschaut, aber die sind selber verwirrt bzw. haben auch unterschiedliche Ergebnisse.

Also wie genau schreibt man es bzw. wie soll ich das alles verstehen. Ihr könnt mir auch links schicken, die das gut erklären wie z.B. Videos (außer Wikipedia). Danke im voraus.

Aufgabe:

1) Graßmann Identität:

\( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)

2) \( (\vec{a} \times \vec{b}) \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \vec{b} \)

3) Lagrange Identität

\( (\vec{a} \times \vec{b})(\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c}) \)

Levi-Civita-Symbol:

\( \epsilon_{ijk} = \vec{e}_i \cdot (\vec{e}_j \times \vec{e}_k) : \)

\( = 1 \quad \text{falls} \quad (i, j, k) = (1, 2, 3) \quad \text{oder} \quad (2, 3, 1) \quad \text{oder} \quad (3, 1, 2) \)

\( = -1 \quad \text{falls} \quad (i, j, k) = (3, 2, 1) \quad \text{oder} \quad (1, 3, 2) \quad \text{oder} \quad (2, 1, 3) \)

\( = 0 \quad \text{sonst, also} \quad i = j, \, j = k \, \text{oder} \, k = i \)

Vektorprodukt:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk} a_i b_j \vec{e}_k \)

Nutzen Sie danach

\(\sum_j \epsilon_{ikj} \epsilon_{jlm} = \delta_{il} \delta_{km} - \delta_{im} \delta_{kl}\) mit \(\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\) und \(\delta_{ij} = \delta_{ji}\):

\( \delta_{il} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \)

Beachten Sie, dass gilt \(\epsilon_{123} = - \epsilon_{213}\) usw.,

Comments

Ich würde das nicht mit dem total-symmetrischen EInheitstensor dritter Stufe \(\varepsilon_{ijk}\) lösen. Dabei vertut man sich fast sicher. Da das Vektorprodukt nur in 3 Dimensionen definiert ist, geht es mit einfachem Ausrechnen sicherer und schneller.

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Danke, ich werde es versuchen

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Nein, nicht versuchen. Tu es oder tu es nicht.

Oder im Original:

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Wenn die Aufgabe vorgibt, das über LC zu machen, wird dir jeder andere Beweis 0 Punkte bringen.

Answer 1

Du brauchst keine zusätzlichen Links. Du hast alle Informationen gegeben, die du brauchst. Man muss sich nur mal die Mühe machen anzufangen und es aufzuschreiben. Dabei ist große Sorgfalt gefragt. Für das Skalarprodukt zweier Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) gilt übrigens \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1} ^3 a_ib_i\).

Du fängst also an zu zeigen, dass die einzelnen Komponenten beider Seiten übereinstimmen: $$[\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c} )] _k =\epsilon_{ijk}a_i(\vec{b}\times \vec{c}) _j=\epsilon_{ijk}a_i\epsilon_{lmj}b_lc_m=\epsilon_{jki}\epsilon_{jlm}a_ib_lc_m=\ldots$$

Darauf wendet man dann die Eigenschaft über das Produkt zweier LC-Symbole an usw.

Comments

Danke für Ihre Antwort:

ich weiß das ich nur vom Prinzip aufschreiben muss was da steht, allerdings bin ich extrem verwirrt von den Begrifflichkeiten und deren zusammenhänge.

Darum weiß ich nicht wirklich wie ich es anwenden soll, weil ich nicht ganz unterscheiden kann was für was steht und wann man es verwendet.

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Dann mache dir die Begriffe klar. Welche überhaupt? Wirklich Begriffe gibt es hier ja nicht. Und wie die einzelnen Operatoren definiert sind, steht ja da. Was ist also das konkrete Problem?