Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Man berechnet zunächst die Fläche ...
richtig, und besser macht man sich vorher überhaupt ein Bild, wie das ganze aussieht. Ich gehe im folgenden davon aus, dass wir den Teil mit \(y\ge0\) betrachten. Die andere Seite wäre genauso groß.
https://www.desmos.com/calculator/hzcj0zcesd
Die grüne Fläche ist die Grundfläche des Körpers, dessen Volumen gesucht ist. An der grünen Kante nach links oben ist die Z-Koordinate \(=0\). Diese Grenze folgt der Funktion$$y^2 = (x-1)^3 \quad \{x \le 2 \land y \ge 0\}$$Rechts unten im Eck, ist \(z=1\). Die blauen Linien sind Höhenlinien. Den Punkt rechts unten kann man verschieben, Es wird jeweils das aktuelle \(z\) angezeigt.
Tipp: bei sowas vor der Rechnung grob schätzen. Ich schätze \(V \lt 1/6\)!$$\begin{aligned}V &= \int\limits_{x=1}^{2} \int\limits_{y=0}^{\sqrt{(x-1)^3}} \left((x − 1)^{3} − y^{2}\right)\,\text dy\, \text{d}x\\ &= \int\limits_{x=1}^{2} \left[(x-1)^3y- \frac13y^3 \right]_{y=0}^{\sqrt{(x-1)^3}}\, \text{d}x \\&= \int\limits_{x=1}^{2} \frac23(x-1)^3 \sqrt{(x-1)^3}\, \text{d}x\\&= \int\limits_{x=1}^{2} \frac23(x-1)^{9/2}\, \text{d}x \\&= \left[ \frac{4}{33}(x-1)^{11/2}\right]_{x=1}^{2} \\ &= \frac{4}{33}\end{aligned}$$Das passt zu der Schätzung! (und zum Ergebnis von hj!) Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
