Bestimmen Sie den Wachstumskoeffizienten λ.

Question

Aufgabe:

Eine Population wächst unter Laborbedingungen exponentiell und vervielfältigt sich um einen Faktor 3 alle 8 Tage.

1. Bestimmen Sie den Wachstumskoeffizienten λ.

2. Nehmen Sie nun an, dass eine Anfangspopulation von 60 mg vorliegt. Wie viel mg pro Tag s dürfen gleichmäßig entnommen werden, ohne dass sich die Population verringert?

Problem/Ansatz:

hallo meine Tochter stellt sich schwer damit die Formel aufzustellen um den Wachstumskoeffizienten zu bestimmen hilfe wird mit offenen armen angenommen :)

Answer 1

Wachtumsfunktion vermutlich so:

(Ich schreibe mal k statt lambda. )

f(t) = a*e^(k*t)  und f(t+8)=3*f(t)

==>  a*e^(k*(t+8)) = 3a*e^(k*t)   |:a

==>  e^(k*(t+8)) = 3*e^(k*t)  

==>  e^(k*t+8k)) = 3*e^(k*t)    Potenzgesetz gibt:

==>  e^(k*t) * e^(8k)= 3*e^(k*t)    | : e^(k*t) 

==>         e^(8k)= 3

==>   8k = ln(3)    ==>  k = ln(3) / 8  ≈  0,1373

Answer 2

Zu Teil 1: Der Wachstumskoeffizient \(\lambda\) ist die Lösung der Gleichung $$\textrm{e}^{\lambda\cdot d} = 3^{d/8}$$ Dabei ist \(d\) die Anzahl der Tage. Diese Gleichung lässt sich auch schreiben als $$\left(\textrm{e}^{\lambda}\right)^d = \left(\sqrt[8\:]{3}\right)^{d}$$ Wie man sieht, lässt sich \(d\) herauskürzen, die Gleichung ist also unabhängig von \(d\). Dies ergibt $$\textrm{e}^{\lambda} = \sqrt[8\:]{3}$$ Logarithmieren liefert die Lösung $$\lambda = \ln\left(\sqrt[8\:]{3}\right).$$ Die letzte Zeile lässt sich auch zu einer allgemeinen Formel verallgemeinern.

Answer 3

Eine Population wächst unter Laborbedingungen exponentiell und vervielfältigt sich um einen Faktor 3 alle 8 Tage.

1. Bestimmen Sie den Wachstumskoeffizienten λ.

3^(x/8) = e^(LN(3)/8·x)

λ = LN(3)/8 = 0.1373265360

2. Nehmen Sie nun an, dass eine Anfangspopulation von 60 mg vorliegt. Wie viel mg pro Tag s dürfen gleichmäßig entnommen werden, ohne dass sich die Population verringert?

60·0.137326536 = 8.240 mg

Es dürfen pro Tag ca. 8.240 mg gleichmäßig entnommen werden.