Aufgabe zur Populationsentwicklung über Meerbarsche:
Im Jahr 1879 wurden in der Bucht von San Francisco 435 Exemplare des Meerbarsches Roccus saxatilis aus dem Atlantik ausgesetzt. 1899 zogen die Fischer der Gegend bereits 617 Tonnen dieser Art an Land. Es wird angenommen, dass dabei (so wie in jedem Jahr) etwa \( 10 \% \) des Bestandes ins Netz gingen. Ein Barsch wiegt durchschnittlich \( 500 \mathrm{~g} \).
a) Wir nehmen an, dass die Entwicklung der Populationsgröße \( N \) der Meerbarsche durch die Differentialgleichung
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} N=\lambda N \)
beschrieben werden kann. Ermitteln Sie aus den bekannten Daten einen Wert für \( \lambda . \) Geben Sie nicht nur den Zahlenwert, sondern auch die Maßeinheit an.
b) Welche biologische Bedeutung hat \( \lambda ? \) Geben Sie in einem Satz an, was der Zahlenwert der Konstante jemandem sagt, der von Differentialgleichungen nichts versteht.
c) Skizzieren Sie die zeitliche Entwicklung der Populationsgröße.
d) In welche Richtung muss unsere Abschätzung für \( \lambda \) korrigiert werden, wenn die jährliche Fangquote nicht bei \( 10 \% \) lag, sondern bei \( 5 \% \) oder bei \( 20 \% \) ?
Ansatz:
zu a)
Maßeinheit in Tonnen im Jahr
zu b)
λ ist ein variabler Faktor oder eine Konstante die, die Fischpopulation beeinflusst, d.h. wie viele Fische sind ungefähr vorhanden (Tonnen).
zu c)
Die Meerbarsche haben sich von 1879 bis 1899, also innerhalb von 20 Jahren deutlich vermehrt. Die Kurve muss demnach wie eine e-Funktion steigen.
