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Gegeben sei die Kurve γ : [0,ln2]R3 \gamma:[0, \ln 2] \rightarrow \mathbb{R}^{3} mit γ(t)=(sinh(t),cosh(t),sinh(t)) \gamma(t)=(\sinh (t), \cosh (t), \sinh (t))^{\top} sowie das Vektorfeld v : R3R3 v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} mit v(x,y,z)=(y,z,x) v(x, y, z)=(y,-z, x)^{\top} .
a) Berechnen Sie

blob.png

Text erkannt:

γv(X),dX \int \limits_{\gamma}\langle v(X), \mathrm{d} X\rangle


b) Ist dieses Kurvenintegral bei dem gegebenen Vektorfeld v v wegunabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Kann jemand diese Aufgabe vorrechnen?

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Aloha :)

zu a) Das Kurvenintegral kannst du direkt formulieren:E=γvdr=0ln(2)vdrdtdt=0ln(2)(y=cosh(t)z=sinh(t)x=sinh(t))(cosh(t)sinh(t)cosh(t))dtE=\int\limits_{\gamma}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{0}^{\ln(2)}\vec v\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_{0}^{\ln(2)}\begin{pmatrix}y=\cosh(t)\\-z=-\sinh(t)\\x=\sinh(t)\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}\cosh(t)\\\sinh(t)\\\cosh(t)\end{pmatrix}\,dtE=0ln(2)(cosh2(t)sinh2(t)=1+sinh(t)cosh(t))dt=[t+12sinh2(t)]0ln(2)\phantom E=\int\limits_0^{\ln(2)}\left(\underbrace{\cosh^2(t)-\sinh^2(t)}_{=1}+\sinh(t)\cosh(t)\right)\,dt=\left[t+\frac12\sinh^2(t)\right]_0^{\ln(2)}E=ln(2)+12(34)2=ln(2)+932\phantom E=\ln(2)+\frac12\left(\frac34\right)^2=\ln(2)+\frac{9}{32}

zu b) Wir betrachten die Rotation des Vektorfeldes v\vec v:rotv=(xyz)×(yzx)=(0+10101)=(111)0\operatorname{rot}\vec v=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y\\-z\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+1\\0-1\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\ne\vec 0Da die Rotation des Vektorfeldes v\vec v nicht verschwindet, ist die Integrabilitätsbedingung verletzt, sodass es keine Funktion ϕ(x;y;z)\phi(x;y;z) geben kann mit v=gradϕ\vec v=\operatorname{grad}\phi. Daher ist das Kurvenintegral durch das Vektorfeld v\vec v abhängig vom gewählten Weg.

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