Aloha :)
Du brauchst zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Ellipse abtastet. Dafür formen wir die Ellipsengleichung etwas um$$x^2+4y^2=4\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$$und lesen die beiden Halbachsen \(a=\sqrt4=2\) und \(b=\sqrt1=1\) ab.
Den Ortsvektor \(\vec r\) können wir nun in Polarkoordinaten angeben:$$\vec r=\binom{2\cos\varphi}{\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Das Intervall für den Polarwinkel \(\varphi\) haben wir so gewählt, dass Anfangs- und Endpunkt gleich sind:$$\vec r(\varphi=0)=\binom{2}{0}\quad;\quad\vec r(\varphi=2\pi)=\binom{2}{0}$$
Nun kannst du das gesuchte Kurvenintegral wie folgt bestimmen:$$I=\int\limits_{\ell}(xy\,dx-2x\,dy)=\int\limits_{\ell}\binom{xy}{-2x}\binom{dx}{dy}=\int\limits_{\ell}\binom{xy}{-2x}\,d\vec r$$
Mittels Substitution gehen wir zu der Parametrisierung von oben über:$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\binom{x(\varphi)\cdot y(\varphi)}{-2\cdot x(\varphi)}\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\binom{2\cos\varphi\cdot\sin\varphi}{-2\cdot2\cos\varphi}\binom{-2\sin\varphi}{\cos\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(-4\sin^2\varphi\cos\varphi-\pink{4\cos^2\varphi})\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(-4\sin^2\varphi\cos\varphi-\pink{\left(2+2\cos(2\varphi)\right)})\,d\varphi$$$$\phantom I=\left[-\frac43\sin^3\varphi-\left(2\varphi+\sin(2\varphi)\right)\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=-4\pi$$
