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Aufgabe:

Wie lautet der geschlossene Weg k(t) der durch die stetig diffbare Funktion s beschrieben wird?

Der Weg wird in Polarkoordinaten (r,phi) beschrieben, wobei r=s(phi) und s:[0,2π]→(0,∞) und s(0)=s(2π)

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Ist der Weg einfach in Polarkoordinaten oder was bedeutet hier r=s(phi)?

Mir ist nicht so ganz klar, was gefragt ist. Vielleicht sollst Du nur die vollständige Parametrisierung der Kurve angeben, also

$$ \phi \mapsto s(\phi) \begin{pmatrix}\cos(\phi) \\ \sin(\phi)\end{pmatrix}$$

Es soll der Weg für ein Kurvenintegral sein, bei dem später gezeigt werden soll, dass dieses unabhängig von der Funktion s ist

Du kannst ja mal die ganze Aufgabe posten

Das Vektorfeld ist geg. durch K=k/(x^2+y^2)(-y,x), wieso ist das Wegintegral unabh. von der Funktion s und der Wert des Integrals lautet 2πk?, wenn der Weg einmal im Kreis um den Ursprung geht

Der Weg ist kein Kreis, wenn s nicht konstant ist.

Warum berechnest Du nicht einfach das Kurvenintegral, dann siehst Du doch, was rauskommt.

Ok also mit deiner Kurve und statt mit theta auch mit t für k(t) als Parametrisierung möglich?

Ja. Du musst aufpassen: Du bezeichnest sowohl die Kurvenparametrisierung mit k als auch den Parameter des Feldes K.

Ja es kommt 2πk raus, da sich durch Additionstheoreme und kürzen von s alles bis auf k auflöst, hast dies nun, dass es nicht von der Wahl von s abhängt?

Ja,das heißt es.

Gilt bei der Ableitung der Parametrisierung dann die Produktregel für das Wegintegral?

Für die Ableitung der Parametrisierung gilt die Produktregel. "Produktregel für Wegintegrale" sagt mir nichts

Wie würden man dann das Wegintegral berechnen, ich glaub dann stimmt mein Ergebnis nicht mehr

Du hast doch oben schon das Ergebnis bestätigt??

Ja aber da hatte ich nicht die Produktregel angewandt lediglich die Ableitungen von cos und sin, und r als konstant betrachtet

Dann schreib doch mal hierhin, was zu rechnen ist, dann kann man Dir weiter helfen....

1 Antwort

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Bitte demnächst Informationen, die für das Verständnis der Aufgabe notwendig sind, nicht in Kommentare, sondern in deinen Post schreiben.


Du hast einen geschlossenen Weg \(C\) gegeben in der Form

\(x(\phi ) = s(\phi)\cos \phi\)

\(y(\phi ) = s(\phi)\sin \phi\)

Selbstverständlich musst du zur Bestimmung des Kurvenintegrals die Produktregel anwenden:
\(x'(\phi ) = s'(\phi)\cos \phi - s(\phi) \sin \phi\)

\(y'(\phi ) = s'(\phi)\sin \phi + s(\phi) \cos \phi\)

Mit \((P,Q) = \frac k{x^2+y^2}(-y,x)\) erhältst du

\(\int_C Pdx + Qdy = \int_0^{2\pi}\left(-y(\phi) x'(\phi) + x(\phi) y'(\phi)\right)d\phi =\ldots \)

einsetzen, zusammenfassen

\(\ldots = k\int_0^{2\pi}\left(\sin^2\phi + \cos^2\phi\right)d\phi = 2\pi k\)

Avatar von 11 k

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