Kurvenintegrale mit parametrisiertem Weg berechnen

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe im Bild :

Bei a ) Muss ich hier Den festen Vektor von Punkt a nachPunkt b mit einem Parameter t parametrisieren in einem Intervall [a,b] ? Und dann das KurvenIntegral berechnen für ∫F(x(t))*(x1´(t) ,...,xn´(t))*dt

in den Grenzen von a bis b ? oder wie geht das ?

bei b )

Hier wird doch x mit t parametrisiert , dann hat man ∫ x(t)*x´(t)dt in den Grenzen von a bis b

dann hat man ∫ (x1(t)*x1´(t) +....+xn(t)*xn´(t) dt

Danke !

Answer 1

a)   F*dx=∑_k=1ⁿ F_kdx_k

also ∫γ F*dx= ∑_k=1ⁿ [ F_k*∫γ dx_k]= ∑_k=1ⁿ [ F_k*∫^xbk_xak dx_k]=∑_k=1ⁿ [ F_k*(x_bk-x_ak)]=F*(x_b-x_a)

Das F_k durfte aus dem Integral gezogen werden, da F ein fester Vektor ist --> F_k konstant.

b)

x*dx=∑_k=1ⁿ x_kdx_k

 ∫γ x*dx=∑_k=1ⁿ [ ∫γ x_kdx_k]=∑_k=1ⁿ [ ∫_xak^xbk x_kdx_k]=∑_k=1ⁿ [ 0.5*(x_bk^2-x_ak^2)]=0.5*(x_b^2-x_a^2)

Hinweis: Bei beiden Rechnungen konnte man die Parametrisierung umgehen, da F und x konservative Felder sind.

rot F=rot x=0

Das Endergebnis hängt also nur vom Anfangs und Endpunkt ab.