Wie lautet der geschlossene Weg der durch Funktion s beschrieben wird?

Question

Aufgabe:

Wie lautet der geschlossene Weg k(t) der durch die stetig diffbare Funktion s beschrieben wird?

Der Weg wird in Polarkoordinaten (r,phi) beschrieben, wobei r=s(phi) und s:[0,2π]→(0,∞) und s(0)=s(2π)

Comments

Ist der Weg einfach in Polarkoordinaten oder was bedeutet hier r=s(phi)?

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Mir ist nicht so ganz klar, was gefragt ist. Vielleicht sollst Du nur die vollständige Parametrisierung der Kurve angeben, also

$$ \phi \mapsto s(\phi) \begin{pmatrix}\cos(\phi) \\ \sin(\phi)\end{pmatrix}$$

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Es soll der Weg für ein Kurvenintegral sein, bei dem später gezeigt werden soll, dass dieses unabhängig von der Funktion s ist

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Du kannst ja mal die ganze Aufgabe posten

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Das Vektorfeld ist geg. durch K=k/(x^2+y^2)(-y,x), wieso ist das Wegintegral unabh. von der Funktion s und der Wert des Integrals lautet 2πk?, wenn der Weg einmal im Kreis um den Ursprung geht

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Der Weg ist kein Kreis, wenn s nicht konstant ist.

Warum berechnest Du nicht einfach das Kurvenintegral, dann siehst Du doch, was rauskommt.

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Ok also mit deiner Kurve und statt mit theta auch mit t für k(t) als Parametrisierung möglich?

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Ja. Du musst aufpassen: Du bezeichnest sowohl die Kurvenparametrisierung mit k als auch den Parameter des Feldes K.

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Ja es kommt 2πk raus, da sich durch Additionstheoreme und kürzen von s alles bis auf k auflöst, hast dies nun, dass es nicht von der Wahl von s abhängt?

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Ja,das heißt es.

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Gilt bei der Ableitung der Parametrisierung dann die Produktregel für das Wegintegral?

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Für die Ableitung der Parametrisierung gilt die Produktregel. "Produktregel für Wegintegrale" sagt mir nichts

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Wie würden man dann das Wegintegral berechnen, ich glaub dann stimmt mein Ergebnis nicht mehr

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Du hast doch oben schon das Ergebnis bestätigt??

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Ja aber da hatte ich nicht die Produktregel angewandt lediglich die Ableitungen von cos und sin, und r als konstant betrachtet

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Dann schreib doch mal hierhin, was zu rechnen ist, dann kann man Dir weiter helfen....

Answer 1

Bitte demnächst Informationen, die für das Verständnis der Aufgabe notwendig sind, nicht in Kommentare, sondern in deinen Post schreiben.

Du hast einen geschlossenen Weg \(C\) gegeben in der Form

\(x(\phi ) = s(\phi)\cos \phi\)

\(y(\phi ) = s(\phi)\sin \phi\)

Selbstverständlich musst du zur Bestimmung des Kurvenintegrals die Produktregel anwenden:
\(x'(\phi ) = s'(\phi)\cos \phi - s(\phi) \sin \phi\)

\(y'(\phi ) = s'(\phi)\sin \phi + s(\phi) \cos \phi\)

Mit \((P,Q) = \frac k{x^2+y^2}(-y,x)\) erhältst du

\(\int_C Pdx + Qdy = \int_0^{2\pi}\left(-y(\phi) x'(\phi) + x(\phi) y'(\phi)\right)d\phi =\ldots \)

einsetzen, zusammenfassen

\(\ldots = k\int_0^{2\pi}\left(\sin^2\phi + \cos^2\phi\right)d\phi = 2\pi k\)