Den Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Grenzwert berchnen

\(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1) \)

Problem/Ansatz:

hey, könnt mir wer da helfen? ich darf nämlich nicht den Log oder In verwenden. Wie berechne ich das? der Grenzwert des Klammerausdrucks wäre ja 0. Aber die Wurzel aus n ist ja divergent?

Answer 1

Eine Möglichkeit ist, den Term \(\sqrt[n]{n}-1\) etwas genauer abzuschätzen:

Setze dazu:

\(\sqrt[n]{n} = 1+ p_n\) mit \(p_n >0\) für \(n\geq 2\)

Also gilt für \(n\geq 3\) wegen der binomischen Formel:

\(n = (1+ p_n)^n > \binom n3 p_n^3 \Leftrightarrow p_n < \sqrt[3]{\frac{3!n}{n(n-1)(n-2)}} = \frac{\sqrt[3]{3!}}{\sqrt[3]{(n-1)(n-2)}}\)

Jetzt schätzt du ab:
\(\sqrt n (\sqrt[n]{n}-1)< \sqrt[3]{6} \frac{\sqrt n }{\sqrt[3]{(n-1)(n-2)}}\)

Den Rest müsstest du hinbekommen, oder?

Comments

Sind es nicht eher nur 3!?

---

@Mathhilf Stimmt. Sollte 6 =3! sein. Danke!