Rekursionsformel konvergiert (Grenzwert)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

z: \( \left(x_{n}\right) n \in N_{0} \). hanvergiert gegen \( x \doteq \sqrt{a} \)
Bewris
\( \forall \varepsilon>0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \in \mathbb{N} \) mil \( n \geqq n_{0}:\left|z_{n}-2\right|<\varepsilon \)
\( \begin{array}{l} a \in(0, \infty) \quad x_{0} \in(0, \infty) \quad x_{0}^{2} \equiv a \\ x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider gefühlt gerade einen blackout. Kann mir wer weiterhelfen? Ich habe vorhin gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Ist das hier von Nutzen?

Comments

Das ist die Formel des sogenannten Heron-Verfahrens zur Näherung an \( \sqrt{a} \).

Answer 1

Ich habe vorhin gezeigt, dass die folge monoton fallend ist, ist das hier von Nutzen?

Das ist sogar von großem Nutzen, denn eine beschränkte monoton fallende Folge hat einen Grenzwert.

Nun gilt die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

$$a,b \geq 0 \Rightarrow \frac 12 (a+b)\geq \sqrt{ab}$$

In deinem Fall also:

$$\frac 12 \left(x_n + \frac a{x_n}\right) \geq \sqrt{x_n \cdot \frac a{x_n}} =\sqrt a$$

Das heißt (da \(x_0 > \sqrt a\)) , dass \(\boxed{x_n \geq \sqrt a}\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Comments

Ich hätte echt gedacht, man müsste mit der def der konvergenz rechnen so wie bei mir im Bild. Wär ich damit nicht weit gekommen?

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Da wäre dann der Beweis über die Definition der Cauchy-Folge einfacher.

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Es ist halt die Frage, ob du die Ungleichung zwischen arith. und geom. Mittel benutzen darfst. Wenn das nicht aus der Vorlesung bekannt ist, dann darfst du das nicht benutzen bzw. musst es erst einmal zeigen.

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Es geht auch ohne diese Ungleichung: \(\displaystyle x_{n+1}^2-a=\frac14\left(x_n-\frac a{x_n}\right)^{\!2}\ge0\).