cn konvergiert <=> Re(cn) und Im(cn) konvergieren

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass für eine Folge komplexer Zahlen gilt:

$$(c_n)_{n \in N} \textrm{ konvergiert} \iff (\Re (c_n)) \textrm{ und }(\Im (c_n)) \textrm{ konvergieren.}$$

Außerdem soll ich zeigen, dass dann auch gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}c_n = \lim\limits_{n\to\infty}(\Re (c_)n)+i \cdot \lim\limits_{n\to\infty}(\Im (c_n))$$

Problem/Ansatz:

Ich kenne die allgemeine Definition von Konvergenz im komplexen. Aber ich verstehe nicht, wie ich jetzt die beiden Implikationen im ersten Teil der Aufgabe zeigen soll. In den reellen Zahlen gilt ja: Wenn an und bn konvergieren, dann konvergiert auch an+bn, hier ist aber ja auch noch so ein Faktor i dazwischen.

Kann man irgendwie bei der Hinrichtung argumentieren, dass wenn eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert auch jede Teilfolge dagegen konvergiert, wobei ich mir nicht sicher bin, ob Re(cn) und Im(cn) überhaupt Teilfolgen von cn sind.

Ich bräuchte da ein wenig Starthilfe.

Answer 1

wobei ich mir nicht sicher bin, ob Re(cn) und Im(cn) überhaupt Teilfolgen von cn sind.

Sind sie nicht, denn deren Folgenglieder sind keine von (c_n)n∈ℕ .

Wohl eher so: Seien \(  c_n=a_n+i*b_n \)  und c= a+bi und \( (c_n)_{n \in N} \textrm{ konvergiert} gegen c. \)

==>  Zu jedem ε>0 gibt es ein N, so dass gilt n>N ==> |c_n - c| < ε   #

Um zu zeigen , dass die Folgen der Real- und Imaginärteile einzeln konvergieren

und es gilt \( \lim\limits_{n\to\infty}c_n = \lim\limits_{n\to\infty}(\Re (c_)n)+i \cdot \lim\limits_{n\to\infty}(\Im (c_n)) \) kann man doch so beginnen:

Sei ε>0. Zu zeigen: Es gibt N1, N2 mit

n>N1 ==> |a_n - a| < ε und   n>N2 ==> |b_n - b| < ε.

Wegen # gibt es für ε ein N, so dass gilt n>N ==> |c_n - c| < ε.

Und es ist |c_n - c|^2 = \( (c_n-c) \cdot \overline{(c_n-c)}   \)

= \( (c_n-c) \cdot (\overline{c_n}-\overline{c})  \)

= \( (a_n+ib_n -(a+ib)) \cdot (a_n-ib_n -(a-ib) )  \)

= \( (a_n-a)+i(b_n -b)) \cdot ((a_n-a)-i(b_n -b) ) \)

= \( (a_n-a)^2 +(b_n -b)^2  \)

Das sind ja die Quadrate der reellen Beträge.

Also kann man oben fortsetzen :

|c_n - c| < ε ==>  |a_n-a| + |b_n-b| < ε

mit Dreiecksungleichung

==>    | (a_n-a) + (b_n-b) | ≤   |a_n-a| + |b_n-b| < ε.

Und wenn die Summe zweier nichtnegativer Zahlen < ε ist,

dann ist das jede einzeln auch, also konvergieren

die  Folgen der Real- und Imaginärteile einzeln und zwar

gegen a bzw. gegen b.

Comments

Du schreibst:

Und es ist: $$|cn - c|^2 =  (c_n-c) \cdot \overline{(c_n-c)} $$

Warum genau quadrierst du in diesem Schritt den Betrag? Ich verstehe nicht, ob das irgendwie zur Hauptrechnung gehört, oder ob das eine Nebenrechnung ist und warum man dann $$|cn - c| < ε ==>  |an-a| + |bn-b| < ε$$ folgern kann.

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Warum genau quadrierst du in diesem Schritt den Betrag?

Ich wollte das Hinschreiben der ganzen Wurzeln einsparen,

aber das war wohl nicht so clever.

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Könnte ich denn nicht z.B. zeigen:

$$|a_n -a| = |\Re(c_n-c)| \leq |c_n-c|<eps$$ und

$$|b_n -b| = |\Im(c_n-c)| \leq |c_n-c|<eps$$

Ich habe diese Abschätzung mit:

$$|\Re(c_n-c)| \leq |c_n-c|$$

schonmal gesehen, wenn ich die beweisen könnte würde das doch auch gehen, oder? Da wäre dann nur wieder das nächste Problem xD

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Das gilt für jede komplexe Zahl z. Wenn etwa z=a+bi

Dann gilt |z| = √(a^2 + b^2) ≥ √(a^2) = |a| = |Re(z)|.

Mit z= c_n-c hast du es. Das scheint mir auch noch

was pfiffiger zu sein als mein Ansatz.

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Wunderbar, dank dir für deine Hilfe :D