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Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Aufgabe:

A)

Sei x ∈ R. Ermitteln Sie den Konvergenzradius von P1(x) und bestimmen (3 P.)
Sie den Grenzwert in Abhängigkeit von x.

p1(x) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k +1}{2^k}x^k} \)



B)
Sei x ∈ R. Ermitteln Sie den Konvergenzradius von P2(x, 3).

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^k}{k!}(x-3)^k} \)


Problem/Ansatz:

(a)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von p1(z) und den Grenzwert in Abhängigkeit von z.

Gegeben:
p1(z) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k+1}{2^k}x^k}  \)


Teilen Sie die Reihe in zwei Teile auf: eine für gerade Indizes und eine für ungerade Indizes.

Gerade Indizes:

Für k = 2m:

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)hoch(2m)+1}{2 hoch(2m)}x hoch(2m)} \) = \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{1+1}{4^m}x hoch(2m)} \) = \(\sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x^(2m)} \) = \(\sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x hoch(2m)} \)

Ungerade Indizes:

Für k = 2m + 1:

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1) hoch(2m+1)+1}{2 hoch(2m+1)+1}x hoch(2m+1)} \) = \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{-1+1}{2*4^m}x hoch(2m+1)} \)
= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0}{2*4^m}x hoch(2m+1)} \) = 0

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der verbleibenden Teilreihe (für gerade Indizes):

Gerade Indizes:
Die Reihe ist:

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x hoch(2m)} \) = 2 \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{x^2}{4}^m} \)

Betrachten Sie die geometrische Reihe:

2 \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{x^2}{4}^m} \)

Die Konvergenzbedingung ist:
| \( \frac{x^2}{4} \) | < 1 → |x^2| < 4 → |x| < 2

Der Konvergenzradius ist daher: R=2

B)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von P2(x, 3)

gegeben:

P2(x,3) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^k}{k!}(x - 3)^k} \)

Teilen Sie die Reihe in zwei Teile auf: eine für gerade Indizes und eine für ungerade Indizes.

Gerade Indizes:

Für k =2m
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m) hoch(2m)}{(2m)!}(x-3) hoch(2m)} \)

Ungerade Indizes:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius jeder Teilreihe:

Gerade Indizes:
Die Reihe ist:

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)

| \( \frac{(x-3)^2}{4} \) | < 1 → | (x-3)^2 | < 4 → | x-3 | < 2

Der Konvergenzradius ist daher:
R = 2

Ungerade Indizes:
Die Reihe ist:

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)

Betrachten Sie die geometrische Reihe:

| \( \frac{(x-3)}{2} \) | < 1 → | (x-3) | < 2

Der Konvergenzradius ist daher:
R = 2

Zusammenfassung:
a) R = 2
b) R = 2

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Was ist eigentlich Deine Frage?

Kannst Du erklären, warum bei B) zwischen gersden und ungeraden Indizes unterschieden werden soll?

Hallo,
Meine frage ist, ob ich a richtig gelöst habe durch die methode und ob b logisch wäre (mir ist ausser das quizienten kriterium nichts weiteres eingefallen), dachte da es bei a funktioniert dasss ich es auch bei b anwenden kann.

Kurze rand info habe es jetzt auch mit dem Quotientenkriterium versucht da kam aber
R = \( \frac{1}{e} \)
raus wäre das dann der richtige ansatz oder das mit dem geraden und ungeraden indiz?

a) hast Du richtig gelöst.

Bei b) ist der Ansatz mit gerade und ungerade unmotiviert und bringt nichts. Was Du da gemacht hast ist falsch, weil Du die Koeffizienten ignoriert hast.

Der Ansatz über die Quotientenformel ist dagegen richtig.

Ich habe dann eine allgemeine frage, gibt es eine allgemeine hilfe, wie ich sofort sehe, wie man so was mit welcher methode lösen kann?
also dass ich sofort weiss welche methode richtig ist oder kommt das gefühl im laufe der zeit durch das üben, habe gerade noch schwierigkeiten damit.

Vielen dank für deine schnelle antwort und hilfe!

Das Beispiel a) ist ein Sonderfall, weil es sich auf die geometrische Reihe zurückführen lässt. Die geometrische Reihe (Konvergenzbedingung, Summenformel) sollte man kennen.

In den meisten anderen Fällen muss man mit einer der beiden Formeln für den Konvergenzradius arbeiten: Quotientenformel oder Wurzelformel. Wenn sich die Wurzelformel nicht durch die Form der Koeffizienten aufdrängt, sollte man es zunächst mit der Quotientenformel versuchen, die ist meist technisch einfacher.

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