Hallo Mathelounge community,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!
Aufgabe:
A)
Sei x ∈ R. Ermitteln Sie den Konvergenzradius von P1(x) und bestimmen (3 P.)
Sie den Grenzwert in Abhängigkeit von x.
p1(x) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k +1}{2^k}x^k} \)
B)
Sei x ∈ R. Ermitteln Sie den Konvergenzradius von P2(x, 3).
\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^k}{k!}(x-3)^k} \)
Problem/Ansatz:
(a)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von p1(z) und den Grenzwert in Abhängigkeit von z.
Gegeben:
p1(z) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k+1}{2^k}x^k} \)
Teilen Sie die Reihe in zwei Teile auf: eine für gerade Indizes und eine für ungerade Indizes.
Gerade Indizes:
Für k = 2m:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)hoch(2m)+1}{2 hoch(2m)}x hoch(2m)} \) = \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{1+1}{4^m}x hoch(2m)} \) = \(\sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x^(2m)} \) = \(\sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x hoch(2m)} \)
Ungerade Indizes:
Für k = 2m + 1:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1) hoch(2m+1)+1}{2 hoch(2m+1)+1}x hoch(2m+1)} \) = \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{-1+1}{2*4^m}x hoch(2m+1)} \)
= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0}{2*4^m}x hoch(2m+1)} \) = 0
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der verbleibenden Teilreihe (für gerade Indizes):
Gerade Indizes:
Die Reihe ist:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{2}{4^m}x hoch(2m)} \) = 2 \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{x^2}{4}^m} \)
Betrachten Sie die geometrische Reihe:
2 \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{x^2}{4}^m} \)
Die Konvergenzbedingung ist:
| \( \frac{x^2}{4} \) | < 1 → |x^2| < 4 → |x| < 2
Der Konvergenzradius ist daher: R=2
B)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von P2(x, 3)
gegeben:
P2(x,3) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^k}{k!}(x - 3)^k} \)
Teilen Sie die Reihe in zwei Teile auf: eine für gerade Indizes und eine für ungerade Indizes.
Gerade Indizes:
Für k =2m
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m) hoch(2m)}{(2m)!}(x-3) hoch(2m)} \)
Ungerade Indizes:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius jeder Teilreihe:
Gerade Indizes:
Die Reihe ist:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)
| \( \frac{(x-3)^2}{4} \) | < 1 → | (x-3)^2 | < 4 → | x-3 | < 2
Der Konvergenzradius ist daher:
R = 2
Ungerade Indizes:
Die Reihe ist:
\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(2m+1) hoch(2m+1)}{(2m+1)!}(x-3) hoch(2m+1)} \)
Betrachten Sie die geometrische Reihe:
| \( \frac{(x-3)}{2} \) | < 1 → | (x-3) | < 2
Der Konvergenzradius ist daher:
R = 2
Zusammenfassung:
a) R = 2
b) R = 2
