Den Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Grenzwert berchnen

$\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)$

Problem/Ansatz:

hey, könnt mir wer da helfen? ich darf nämlich nicht den Log oder In verwenden. Wie berechne ich das? der Grenzwert des Klammerausdrucks wäre ja 0. Aber die Wurzel aus n ist ja divergent?

Answer 1

Eine Möglichkeit ist, den Term $\sqrt[n]{n}-1$ etwas genauer abzuschätzen:

Setze dazu:

$\sqrt[n]{n} = 1+ p_n$ mit $p_n >0$ für $n\geq 2$

Also gilt für $n\geq 3$ wegen der binomischen Formel:

$n = (1+ p_n)^n > \binom n3 p_n^3 \Leftrightarrow p_n < \sqrt[3]{\frac{3!n}{n(n-1)(n-2)}} = \frac{\sqrt[3]{3!}}{\sqrt[3]{(n-1)(n-2)}}$

Jetzt schätzt du ab:
$\sqrt n (\sqrt[n]{n}-1)< \sqrt[3]{6} \frac{\sqrt n }{\sqrt[3]{(n-1)(n-2)}}$

Den Rest müsstest du hinbekommen, oder?

Comments

Sind es nicht eher nur 3!?

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@Mathhilf Stimmt. Sollte 6 =3! sein. Danke!