Integral auf Konvergenz mit Majorante/Grenzwert bestimmen

Question

Text erkannt:

(a) $\int \limits_{1}^{+\infty} \frac{\ln (x)}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$

Hallo,

Bei folgender Aufgabe soll ich das Integral auf Konvergenz untersuchen. Dies soll nach dem Majoranten/Grenzwertkriterium erfolgen, allerdings bin ich mir bzgl. Des Vorgehens unsicher. Das uneigentliche Integral kann ich bestimmen aber die nächsten Schritte fehlen mir. Muss ich den Quotienten aufteilen und für die einzelnen Teile jeweils eine Majorante finden?

LG

Comments

Wenn Du das uneigentliche Integral bestimmen kannst, also als Zahlenwert, dann bist Du fertig, ohne Konvergenzkriterien. Glaub ich Dir aber nicht. Wenn Du eine Stammfunktion gefunden hast, hast Du die Probe gemacht?

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Nimm doch z.B. die (sehr ungenaue) Ungleichung $\log(x) \leqslant e^{x / 2}$ für $x \geqslant 1$.

Answer 1

Du kannst schnell (per Mittelwertsatz) zeigen, dass $\ln x \leq x$ für $x\geq 1$ gilt.

Also

$\int_1^\infty \frac{\ln x}{e^x}\, dx \leq \int_1^\infty \frac{x}{e^x}\, dx$

Das rechte Integral kann man jetzt tatsächlich bestimmen. Es gibt aber einen netten Trick, den man oft anwenden kann, wenn die $e$-Funktion im Nenner ist:

Für $x>0$ gilt wegen $e^x = 1+x+\frac 12 x^2 + \frac 1{3!}x^3 + ...$ auf jeden Fall:

$e^x > \frac {x^3}6$

Damit haben wir

$\int_1^\infty \frac{x}{e^x}\, dx < \int_1^\infty \frac{x}{\frac {x^3}{6}}\, dx = 6\int_1^\infty \frac{1}{ {x^2}}\, dx < \infty$

Damit haben wir eine einfach integrierbare Majorante gefunden.