Integral auf Konvergenz untersuchen mithilfe eines Konvergenzkriteriums

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \int \limits_{2}^{4} \frac{1}{(3 x-1) \sqrt{x^{2}-4}} d x \)

Problem/Ansatz:

Muss ich das mit der trigonometrischen Substitution lösen? Könnte mir jemand bitte zeigen und erklären, wie ich das mache? ich habe mir den Rechenweg auf einem Integralrechner angesehen, aber ich verstehe das leider nicht ganz. Wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(x\in[2;4]\) ist der Integrand stets positiv. Damit ist das Integral positiv. Weiter ist im Integrationsbereich \(\sqrt{x^2-1}\ge\sqrt3>1\). Wenn wir daher den Faktor \(\sqrt{x^2-1}\) im Nenner weglassen, wird der Nenner kleiner und der gesamte Bruch dadurch größer:$$0<\int\limits_2^4\frac{1}{(3x-1)\sqrt{x^2-1}}\,dx<\int\limits_2^4\frac{1}{3x-1}\,dx=\left[\frac{1}{3}\ln(3x-1)\right]_2^4=\frac{1}{3}\ln\left(\frac{11}{5}\right)$$

Das gegebene Integral konvergiert und sein Wert liegt zwischen \(0\) und \(0,2628\).

Comments

Dein Integrand ist falsch.

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vielen vielen Dank!!!!!

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$$\int \limits_{2}^{4} \frac{1}{(3 x-1) \sqrt{x^{2}-\color{green}4}} \,\mathrm dx $$

$$\int\limits_2^4\frac{1}{(3x-1)\sqrt{x^2-\color{red}1}}\,\mathrm dx$$

:-)

Answer 2

Hallo

Du sollst das Integral nicht lösen, es ist ein umeigentliches Integral, weil der Integrand bei x=2 einen Pol hat. also musst du den Integranden in der Nähe von x=2 untersuchen bzw. abschätzen, denn 1/√(x-2) ist bei x=2 integrierbar .

Gruß lul