Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert

Problem/Ansatz:

Es seien a, b ∈ R. Die Folge (an)n∈N ⊆ R sei rekursiv definiert
a0 = a, a1 = b und an =(an−1)/3 + (2an-2)/3

Text erkannt:

Es seien \( a, b \in \mathbb{R} \). Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \) sei rekursiv definiert
\( a_{0}=a, a_{1}=b \quad \text { und } \quad a_{n}=\frac{a_{n-1}}{3}+\frac{2 a_{n-2}}{3} . \)

Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert.

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Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert

Comments

Eine Möglichkeit: Es ist in Matrixschreibweise \(\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&\frac23\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix}\).
Induktiv folgt \(\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&\frac23\\1&0\end{pmatrix}^n\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}\).
Außerdem ist \(\begin{pmatrix}\frac13&\frac23\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac23&1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\frac23&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\frac23&\frac23\\1&1\end{pmatrix}^{-1}\).

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Wie ich gerade sehe, gibt es auf einer anderen Mathe-Seite (0nlinem4the) schon eine vollständige Lösung zu deiner Frage - die (wie es ausieht) ebenfalls von dir stammt.

Answer 1

Hier nur ein paar Hinweise.

Deine Folge ist durch eine homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten gegeben.

Du bestimmst die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

\(x^2-\frac x3 - \frac 23\)

Damit kannst du dann die allgemeine Lösung sofort hinschreiben. Die Koeffizienten der Lösung passt du an die gegebenen Anfangsbedingung \(a_0 =a,\, a_1 = b\) an.

Probier das erstmal und frag nach, wenn du dabei Probleme hast.