Folgeneigenschaft beweisen (Konvergenz, Epsilon, Grenzwert)

Question

Sei (a_n)_n eine Folge, a ein Element des zugrundeliegenden Körpers. Sind die Eigenschaften

∀ε>0 ∃ N∈ℕ ∀n≥N : Ia_n-aI < ε

und ∀ε>0 ∃ N∈ℕ ∀n≥N : Ia_n-aI ≤ ε

äquivalent?

Wie kann ich zeigen, dass die Bedeutung der Aussagen äquivalent ist, als das aus Aussage 1 ⇒ Aussage 2 folgt und umgekehrt.

Answer 1

Dazu müsste man etwas über den Körper wissen, in dem das spielt.

Ist er z.B. vollständig, oder ist es sogar der Kö. der reellen Zahlen.

Im letzteren Fall ist es einfach.

aus (1) folgt (2) ist ja klar, weil < ε natürlich auch ≤ εbedeutet.

umgekehrt würde es beim Körper IR ohl so gehen:

Wenn es für alle eps>0 mit ≤ ε  Dann kann man ein neues eps2 = 0,5*eps

wählen und  ≤ ε  bedeutet dann ja sicherlich < ε2   .