Hi,
es gilt $$ \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) $$
Also gilt
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) = $$
$$ \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^n \frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}-\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right) $$
Der zweite Term in der Klammer geht gegen 0, also insgesamt gilt
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)} = \frac{3}{4} $$
