Konvergenz und Grenzwert der Reihe n/(n^2+k)

Question

Aufgabe:

Die folgende Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert

\( \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \)

Ich hätte die Folge als Reihe wie folgt geschrieben:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + k} \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre hier das Minoranten- oder Majorantenkriterium. Allerdings habe ich hier noch Verständnisschwierigkeiten und kann es alleine nicht anwenden. (Falls das überhaupt der richtige Ansatz ist).

Ich wäre super dankbar, wenn ich hier Hilfe bekommen könnte.

Comments

Drei Punkte kannst du in LaTeX mit \dots schreiben.

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Bei der Vorschau wurden mir die Brüche noch richtig angezeigt. Mit LaTeX bin ich noch nicht so vertraut (erstes Semester ;)), aber danke für den Tipp!

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[...gelöscht...]                   .

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Hallo racine_carée,

wie kommst du denn da auf die Verwendung des Integrals? :o

Das k an sich ist in der Reihe nicht quadriert. Ist das bei dir Absicht?

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Oh nein, du hast recht. Tut mir leid!

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Alles gut! Trotzdem vielen Dank für deine Mühe!!!

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@MajaMathe1: Der Fehler war, dass du n² statt n^2 geschrieben hast. Du hast also die Zwei manuell per Editor hochgestellt, was nicht funktioniert.

Einen Exponenten in LaTeX schreibt man mit dem Zeichen ^ wie in den folgenden zwei Beispielen:

n^2 führt zu \( n^2 \).
n^{2+a} führt zu \( n^{2+a} \).

Answer 1

Aloha :)$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k\quad;\quad a_k=\frac{n}{n^2+k}$$Wegen$$\frac{n}{n^2+n}\le\frac{n}{n^2+k}\le\frac{n}{n^2+1}\quad\text{für}\quad k=1,\ldots,n$$gilt auch:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{n}{n^2+n}\le \sum\limits_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{n}{n^2+1}$$$$\frac{n^2}{n^2+n}\le S_n\le\frac{n^2}{n^2+1}$$$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\le S_n\le\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\le\lim\limits_{n\to\infty} S_n\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}$$$$1\le\lim\limits_{n\to\infty} S_n\le1$$$$\lim\limits_{n\to\infty} S_n=1$$

Comments

Summationsgrenze falsch

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Nöö, \(k\) geht von 1 bis unendlich. Das passt schon so.

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k geht von 1 bis n ,  so steht es in der ersten Zeile des FS.

Die nächste Zeile "Ich hätte ..." ist nicht dasselbe, also falsch, aber von dir benutzt.

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Hallo :)

den Satz von Olivier hatten wir leider noch nicht, deshalb darf ich ihn nicht verwenden.

Grenzwertrechner im Internet spucken mir aber aus, dass die Reihe gegen 0 konvergiert, also ein Grenzwert existert. Warum läuft bei dir k gegen unendlich und nicht n?

@Gast hj2166: Kann ich diese Folge also überhaupt nicht als Reihe betrachten?

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Oh ich sehe gerade, dass ich oben ja selbst gegen unendlich geschrieben habe, das war ein Versehen.

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Nach euren Anmerkungen habe ich die Aufgabe jetzt hoffentlich richtig verstanden und meine Antwort aktualisert.

Danke @Gast hj2166... ich wusste zuerst nicht, was du meintest, aber als MajaMathe1 dann auch nachgefragt hat, habe ich es gerafft ;)

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Ohhh, das macht Sinn danke!!!

Darf man die Einschachtelung einfach so auf die Reihen "übertragen"? (Also ist ja eigentlich logisch, aber rein formal)

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Ja, du kannst die Einschachtelung auf Summen übertragen, solange du dich im Konvergenzradius der Summen befindest. Da wir die Einschachtelung für endliche Summen gemacht haben, erhalten wir vor(!) der Grenzwertbildung eine gültige Abschätzung. Im Grenzwert stellen wir dann fest, dass die betrachtete Reihe von Einsen eingeschlossen ist, also auch selbst gegen Eins konvergieren muss.

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Ok, danke! Das muss ich aber nicht extra zeigen mit dem Konvergenzradius, oder?

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Nein, musst du hier nicht zeigen, weil die Summe endlich ist. Wenn du aber z.B. unendliche Summen addieren möchtest, musst du aufpassen, dass du dich im Konvergenzradius beider Summen befindest.

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Super, danke! Das hat mir sehr geholfen.

Answer 2

Du hast also n positive Summanden, und jeder dieser Summanden ist kleiner als 1/n.

Damit ist die Frage, OB es konvergiert, schon mal geklärt.

Comments

Es konvergiert ja gegen 0. Aber wie zeige ich das bei der Reihe?

Erweitere ich die Reihe einfach mit n^-1? Dann hätte ich ja für den Term

\( \frac{1}{n+(k/n)} \) , oder?

Dadran könnte man ja schonmal zeigen, dass es für n gegen unendlich gegen 0 geht. Aber darf ich das bei Reihen einfach so machen, oder muss ich da mit den Konvergenzkriterien arbeiten?

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jeder dieser Summanden ist kleiner als 1/n.  

und größer als n/(n^2+n)

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Wäre n/(n²+n) dann eine konvergente Majorante von der Reihe? Da n/(n²+n) ja auch gegen 0 konvergiert, und die Beträge jeder Summanden kleiner sind?

Oder mal eine vielleicht dumme Frage: Gilt der Einschachtelungssatz nur für Folgen oder kann man diesen auch auf die Reihe anwenden? Das müsste sich doch anbieten, wenn es eine "kleinere" und eine "größere" Reihe gibt, die beide auch gegen 0 konvergieren (wenn man darf :)).

Sorry für meine konfusen Antworten, bin ein bisschen überfordert mit den vielen verschiedenen Kriterien und noch ungeübt in der Anwendung.