Konvergenz dieser Reihe zeigen und den Grenzwert bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} ∀n ∈ ℕ. Und nun soll gezeigt werden, dass die Reihe

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \)a_n\( 8^{-n} \) 

konvergent ist und ihr Grenzwert in dem Intervall [0,1] liegt.

Also ich denke mal man muss das mit der geometrischen Reihe machen und da a_n immer kleiner als 8 kommt auch immer ein Wert kleiner als 1. Aber weiß nicht wie ich das jetzt anwende und zu einem Beweis führe. Hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Aloha :)

Die Idee mit der geometrischen Reihe ist super. Jetzt einfach nur noch hinschreiben:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_n}{8^n}\le\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{7}{8^n}=7\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{8^n}=7\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^n-1\right)=7\left(\frac{1}{1-\frac{1}{8}}-1\right)=7\left(\frac{8}{7}-1\right)=1$$