Konvergenz der Reihe + ggf. Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}{n über k * (3/5) hoch (n+k)}} \)

Problem/Ansatz:

Diese Reihe überfordert mich leider total, ich weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll

Answer 1

Zunächst kannst du \(\left(\tfrac35\right)^n\) ausklammern. Anschließend wende den binomischen Lehrsatz rückwärts an. Danach hast du noch eine geometrische Reihe:$$\quad\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot\left(\frac35\right)^{n+k}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac35\right)^n\cdot\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot\left(\frac35\right)^k\\=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac35\right)^n\cdot\left(1+\frac35\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{24}{25}\right)^n=25.$$

Comments

Arsinoë4 danke für deine Hilfe.