Aufgabe:
Seien \( V, W \) zwei endlichdimensionale \( \mathbb{K} \) -Vektorräume mit geordneten Basen \( \mathcal{B}_{V}= \) \( \left(\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right) \) und \( \mathcal{B}_{W}=\left(\mathbf{w}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right) \)
Sei \( X \) ein beliebiger \( \mathbb{K} \) -Vektorraum und
$$ B: V \times W \rightarrow X $$
eine bilineare Abbildung. Definiere
$$ \begin{aligned} \hat{B}: \mathbb{K}^{m \times n} & \rightarrow X \\ A & \mapsto \sum \limits_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} A_{i j} B\left(\mathbf{v}_{i}, \mathbf{w}_{j}\right) \end{aligned} $$
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1. \( \hat{B} \) ist linear.
2. Für alle \( \mathbf{v} \in V, \mathbf{w} \in W \) gilt
$$ B(\mathbf{v}, \mathbf{w})=\hat{B}\left(\operatorname{Koord}_{\mathcal{B}_{V}}(\mathbf{v}) \cdot \operatorname{Koord}_{\mathcal{B}_{W}}(\mathbf{w})^{\top}\right) $$
Hier ist das Argument von \( \hat{B} \) das Produkt \( a \cdot b^{\top} \in \mathbb{K}^{m \times n} \) für \( a=\operatorname{Koord}_{\mathcal{B}_{V}}(\mathbf{v}) \in \)
\( \mathbb{K}^{m} \simeq \mathbb{K}^{m \times 1}, b= \) Koord \( _{\mathcal{B}_{W}}(\mathbf{w}) \in \mathbb{K}^{n} \simeq \mathbb{K}^{n \times 1} \). Also, falls z.B.
$$ \text { Koord }_{\mathcal{B}_{V}}(\mathbf{v})=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \text { Koord }_{\mathcal{B}_{W}}(\mathbf{w})=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 100 \end{array}\right) $$
gilt, dann ist
$$ \text { Koord }_{\mathcal{B}_{V}}(\mathbf{v}) \cdot \operatorname{Koord}_{\mathcal{B}_{W}}(\mathbf{w})^{\top}=\left(\begin{array}{cc} -10 & 100 \\ -20 & 200 \\ -30 & 300 \end{array}\right) \text { . } $$
könnte mir jemand bitte dabei helfen?
