Sind die Vektoren einer linearen Abbildung linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Lineare Abbildungen Unabhängigkeit

Sind \(v_1\neq v_2\) Elemente von Vektorraum V und gilt $$\phi(v_1)=\phi(v_2)$$, dann ist $$(v_1,v_2)$$ in V linear unabhängig

Problem/Ansatz:

Meine Idee war, nach 0 umzustellen: $$\phi(v_1)-\phi(v_2)=0$$ $$\phi(v_1-v_2)=0$$ Daraus folgt $$v_1-v_2=0$$ oder $$v_1-v_2\in Kern$$. Ersteres kann nicht sein, da ja \(v_1\) ungleich \(v_2\).

Also bleibt nur \(v_1-v_2\in Kern\). Nur, wie hilft mir das weiter? Hab auch irgendwo gelesen, dass Vektoren, die das gleiche Bild haben, linear abhängig sind. Nur, wie zeigt man das?

Answer 1

Hallo

Wenn φ in einen Unterraum abbildet, etwa im R^2 φ(x,y)=(x,0) gilt dein letzter Satz , den du "irgendwo gelesen " hast nicht

der Vektor v1=(x,ry), v2=(x,qy) r≠q  auf denselben  Vektor abgebildet und v1,v2 sind linear unabhängig.

Das heisst die Bedingung ist nur möglich, wenn der Kern von φ nicht nur die 0 enthält. also φ in einen echten Unterraum abbildet

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Man muss hier wohl die zusätzliche Bedingung einführen, dass $$\phi(v_1) = \phi(v_2) \ne 0$$ ist. Denn zwei Vektoren, die beide zum Kern gehören, können auch linear abhängig sein. Denn \(\phi\) ist eine lineare Abbildung und daher folgt automatisch:$$\phi(v_1) = 0 \implies \phi(k \cdot v_1) = 0$$Man kann die lineare Unabhängig über einen Widerspruchsbeweis zeigen.

Annahme: \(v_2 = k\cdot v_1\) mit \(k \ne 1\)$$\phi(v_2) = \phi(k \cdot v_1) = k \cdot \phi(v_1) \ne \phi(v_1)$$D.h. zwei Vektoren, die nicht Elemente des Kerns von \(\phi\) sind, und das gleiche Bild in \(\phi\) besitzen, können nicht linear abhängig sein.

Meine Idee war, nach 0 umzustellen:

Das zeigt zumindest, dass \(v_1-v_2\in \text{Kern}\) gilt. ist auch 'ne Aussage.

Gruß Werner