Wie zeige ich dass die Abbildung linear ist?

Question

Hallo ihr alle,

kann mir bitte jemand folgende Aufgabe "vorrechnen" mein Lehrer hat das leider eher weniger gut gemacht. Ich brauch einfach irgendwie einmal eine komplette Lösung an der ich mich dann für die anderen Aufgaben orientieren kann. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte. Danke:)

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) . \) Wir betrachten die Abbildung
\( f: V \rightarrow V, p \mapsto p^{\prime}+2 p \)
(a) Zeigen Sie \( f \in \mathcal{L}(V, V) \). Sie dürfen dabei als bekannt voraussetzen, dass die Ableitung eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

Um zu zeigen, dass f linear ist, musst du 2 Dinge prüfen:

1. Für alle p,q aus V gilt  f(p+q) = f(p)+f(q)  und

2. Für alle t∈ℝ und p∈V gilt f(t*p) = t*f(p) .

zu 1.  Seien p,q aus V dann gilt nach Def. von f

   f(p+q) = (p+q) ' + 2·(p+q)

             = p' + q' + 2p + 2q

             =p' + 2p + q' + 2q

             = f(p) + f(q) .

Das 2. entsprechend.

Comments

vielen dank für die schnelle Antwort :)

Könnten Sie mir den 2. Teil auch formal aufschreiben? Das wäre super!

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Mach mal nen Vorschlag.