Entscheide: ist es k-linear?

Question

Entscheiden Sie, ob die folgende Abbildung \( K \) -linear ist. Falls ja bestimmen Sie die zugehörige Matrix bzgl. der Standardbasen, eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes

f: ℚ²→ℚ², \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} y + x\\3y+x³\\\end{pmatrix} \)

Könnte mir jemand eine musterlösung zu dieser Aufgabe geben ?

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen die Additivität anhand eines konkreten Beispiels:$$\binom{1}{0}\mapsto\binom{1}{1}\quad;\quad\binom{2}{0}\mapsto\binom{2}{8}$$Eine (K-)lineare Abbildung muss die Summe der Argumente auf die Summe der Bilder abgebilden:$$\binom{1}{0}+\binom{2}{0}=\binom{3}{0}\mapsto\binom{3}{27}\ne\binom39=\binom{1}{1}+\binom{2}{8}$$Also ist die Abbildung \(f\) nicht (K-)linear.

Comments

Ich danke dir vielmals!!