Zeigen Sie, dass die Abbildung f linear ist.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung

f: ℝ³ → ℝ² _, x ↦ \( \begin{pmatrix} x₂ - x₃\\3x₁ + 5x₃ \end{pmatrix} \)

Zeigen Sie, dass die Abbildung f linear ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man hier vorangeht.

Answer 1

\(f: ℝ^3 → ℝ^2 , x ↦ \begin{pmatrix} x_2 - x_3\\3x_1 + 5x_3 \end{pmatrix} \) ist linear weil

1. Für alle x,y ∈ℝ³ gilt f(x+y)=f(x)+f(y).

Bew.: Seien x=\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \) ,y=\( \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} \) ∈ℝ³ . Dann gilt f(x+y)

\(= f (  \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} ) \) nach Def. von + in ℝ^3 

\(= f (  \begin{pmatrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3 \end{pmatrix}  ) \) nach Def. von f

\( =\begin{pmatrix} (x_2+y_2) - (x_3+y_3) \\3(x_1+y_1) + 5(x_3+y_3) \end{pmatrix} \) Rechnen in ℝ

\( =\begin{pmatrix} (x_2-x_3) + (y_2-y_3)  \\ (3x_1+5x_3) +( 3y_1+5y_3) \end{pmatrix} \) Def. + in ℝ^2 

\( =\begin{pmatrix} x_2-x_3 \\ 3x_1+5x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_2-y_3  \\ 3y_1+5y_3 \end{pmatrix} \)  Def. von f

\(= f (  \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} )+ f( \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} ) \)

Zeige ähnlich f(k*x)=k*f(x) für alle k∈ℝ   und x∈ℝ^3 .

Answer 2

Aloha :)

Damit eine Abbildung \(\vec f(\vec x)\) über einem Körper \(\mathbb K\) linear ist, muss gelten:$$1)\text{ Additivität:}\qquad \vec f(\vec x+\vec y)=\vec f(\vec x)+\vec f(\vec y)$$$$2)\text{ Homogenität:}\;\quad \vec f(c\cdot\vec x)=c\cdot\vec f(\vec x)\quad;\quad c\in\mathbb K$$

Du kannst beide Bedinungen zu einer zusammenfassen:$$\vec f(c\cdot\vec x+\vec y)=c\cdot\vec f(\vec x)+\vec f(\vec y)$$

Schauen wir mal, wie das hier aussieht:$$\vec f(c\cdot\vec x+\vec y)=\vec f\left(c\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)=\vec f\left(\begin{array}{c}cx_1+y_1\\cx_2+y_2\\cx_3+y_3\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec f(c\cdot\vec x+\vec y)}=\binom{(cx_2+y_2)-(cx_3+y_3)}{3(cx_1+y_1)+5(cx_3+y_3)}=\binom{(cx_2-cx_3)+(y_2-y_3)}{(3cx_1+5cx_3)+(3y_1+5y_3)}$$$$\phantom{\vec f(c\cdot\vec x+\vec y)}=\binom{cx_2-cx_3}{3cx_1+5cx_3}+\binom{y_2-y_3}{3y_1+5y_3}=c\cdot\binom{x_2-x_3}{3x_1+5x_3}+\binom{y_2-y_3}{3y_1+5y_3}$$$$\phantom{\vec f(c\cdot\vec x+\vec y)}=c\cdot\vec f(\vec x)+\vec f(\vec y)\quad\checkmark$$Die Abbildung ist also linear.