Aufgabe:
Kann die Funktion F(x)=arctan(x) Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sein? Begründen Sie Ihre Antwort.
Problem/Ansatz:
Ist die Lösung richtig?
Definition einer Verteilungsfunktion:
Jede Verteilungsfunktion \( F: \mathbb{R} \rightarrow[0,1] \) hat folgende Eigenschaften:
1. \( F \) ist monoton steigend. Dies trifft zu, da arctan(x) streng monoton steigend ist
2. \( F \) ist rechtsseitig stetig. Dies trifft ebenfalls zu
3. \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} F(x)=0 \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} F(x)=1 \). Dies trifft nicht zu, da die Funktionswerte bei arctan(x) für x-> -∞ und x-> +∞ kleiner 0 bzw. größer 1 sind.
Somit ist arctan(x) keine Verteilungsfunktion.
Zusatzfrage:
Wenn die Frage ist, für welche Werte von c, c*arctan(x) eine Verteilungsfunktion ist:
Dann wäre die Antworte, wenn c = 1/arctan(x) ist oder c = 0.