Kann die Funktion F(x)=arctan(x) Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sein?

Question

Aufgabe:

Kann die Funktion F(x)=arctan(x) Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ist die Lösung richtig?

Definition einer Verteilungsfunktion:

Jede Verteilungsfunktion \( F: \mathbb{R} \rightarrow[0,1] \) hat folgende Eigenschaften:
1. \( F \) ist monoton steigend.  Dies trifft zu, da arctan(x) streng monoton steigend ist
2. \( F \) ist rechtsseitig stetig.  Dies trifft ebenfalls zu
3. \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} F(x)=0 \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} F(x)=1 \). Dies trifft nicht zu, da die Funktionswerte bei arctan(x)  für x-> -∞ und x-> +∞ kleiner 0 bzw. größer 1 sind.

Somit ist arctan(x) keine Verteilungsfunktion.

Zusatzfrage:

Wenn die Frage ist, für welche Werte von c,   c*arctan(x) eine Verteilungsfunktion ist:

Dann wäre die Antworte, wenn c = 1/arctan(x) ist oder c = 0.

Answer 1

3. \( \lim \limits_{x \rightarrow\infty} F(x)=0 \) und ... . Dies trifft nicht zu, da die Funktionswerte bei arctan(x)  für x-> -∞ ... kleiner 0 ... sind.

Das trifft eigentlich ganz gut, warum F(x)=arctan(x) keine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sein kann.

Besser wäre es, explizit

        \(\lim\limits_{x\to-\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}\neq 0\)

zu erwähnen; darauf wolltest du wohl hinaus.

Was du unter 1. und 2. geschrieben hast stimmt zwar, ist aber irrelevant.

für welche Werte von c, c*arctan(x) eine Verteilungsfunktion ist:

Für keine. Es gilt

        \(\lim\limits_{x\to-\infty} c\arctan x = -c\cdot \frac{\pi}{2}\)

und

        \(\lim\limits_{x\to\infty} c\arctan x = c\cdot \frac{\pi}{2}\).

Es gibt kein \(c\), so dass \(-c\cdot \frac{\pi}{2} = 0\) und \(c\cdot\frac{\pi}{2} = 1\) ist.

Comments

Es gibt kein (\c\), so dass \(-c\cdot \frac{\pi}{2} = 0\) und \(c\cdot\frac{\pi}{2} = 1\) ist.

Wenn c hier den Wert 0 oder 2/π hat, nimmt die obige Gleichung doch den Wert 0 bzw. 1  an?

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Gleichungen nehmen keine Werte an.

Gleichungen sind gültig oder ungültig.

Wenn c hier den Wert 0 ... hat

Dann ist die Gleichung \(c\cdot\frac{\pi}{2} = 1\) ungültig. Für \(c = 0\) ist dehalb \(c\arctan x\) keine Verteilungsfunktion.

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Verstehe danke!