1. Wahr. Seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) verschiedene Eigenwerte und \( v_{1}, v_{2} \) zugehörige Eigenvektoren.
Dann gilt
\( \begin{aligned} \lambda_{1}\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=\left\langle A v_{1}, v_{2}\right\rangle=\left\langle v_{1}, A v_{2}\right\rangle=\lambda_{2}\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle & \Longrightarrow\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)=0 \\ & \Longrightarrow\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=0 \end{aligned} \)
2. Wahr. Sei \( \lambda \) ein Eigenwert und \( v \) ein dazugehöriger Eigenvektor:
\( \begin{aligned} \langle A v, A v\rangle=v^{\top} A^{2} v=\lambda^{2} v^{\top} v=\lambda^{2}\|v\|_{2}^{2} & \Longrightarrow \lambda^{2}=\frac{\langle A v, A v\rangle}{\|v\|_{2}^{2}} \in \mathbb{R} \\ & \Longrightarrow \lambda \in \mathbb{R} \text { wegen } \lambda^{2}>0 \end{aligned} \)
3. Falsch. Finde selbst ein Gegenbeispiel.
4. Falsch. Finde selbst ein Gegenbeispiel.
5. Wahr. Z.b. kannst die dies via Induktion zeigen, wobei du schon weisst, dass jede symmetrische relle Matrix einen Eigenwert in \( \mathbb{R} \) mit zugehörigem Eigenvektor \( v_{1} \) hat (folgt aus 2.). Die I.H. wendest du dann auf die Einschränkung von \( \boldsymbol{A} \) auf den Raum \( \left\langle\boldsymbol{v}_{1}\right\rangle^{\perp} \) an (zeige erst, dass diese Einschränkung wieder symmetrisch ist).
6. Falsch. Finde selbst ein Gegenbeispiel.
