Aloha :)
Mit L'Hospital liegst du nicht verkehrt. Betrachte zuerst:$$\lim\limits_{x\to0}(x\cdot\ln(x))=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\stackrel{(\text{L'Hospital})}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to0}(-x)=0$$
Damit ist nun:$$\lim\limits_{x\to0}(x^x)=\lim\limits_{x\to0}\left(e^{x\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{x\to0}(x\ln(x))}=e^0=1$$