Grenzwert errechnen mit e Funktion und de l'Hospital

Question

Hallo,

ich habe die Barometrische Höhenformel gegeben:

p(h₁)=p(h₀) \( (1- \frac{k-1}{k}  · \frac{MgΔh}{RT(h0)}) ^{\frac{k}{k-1}} \)

Ich soll nun zeigen dass, wenn k → 1 läuft daraus die Formel p₁(h₁)=p(h₀) \( e^{-\frac{MgΔh}{RT(h0)}} \) entsteht.

Kann mir jemand hier helfen? Ich hätte hier die Exponentialfunktion und dann l'Hospital benutzt aber komm da bei der Rechnung nicht weiter. Ist das die richtige Fährte?

Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Answer 1

Aloha :)$$\lim\limits_{k\to1}\left(1-\frac{k-1}{k}\cdot F\right)^{\frac{k}{k-1}}=\lim\limits_{k\to1}\left(1-\frac{F}{\frac{k}{k-1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{F}{n}\right)^n=e^{-F}$$Für \(k\to1\) geht \(\frac{k}{k-1}\to\infty\), daher ersetzen wir \(\frac{k}{k-1}\) durch \(n\) und lassen \(n\to\infty\) gehen. Es entsteht der bekannte Grenzwert \(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\)

Jetzt musst du nur noch den Vorfaktor \(p(h_0)\) dazu schreiben und \(F\) durch den dicken Bruch ersetzen.

Comments

Sehr elegant, dankeschön :)