Grenzwert berechnen mit de l'Hospital

Question

\( \lim \limits_{x \searrow 0} x \log \left(e^{x}-1\right) \)

Ich soll hier den Grenzwert mithilfe von de l'Hospital herausfinden.

Wie genau klappt das ohne dass ich im Nenner durch 0 teile?

Answer 1

Mache aus dem Produkt einen Quotienten, z.B. mit \(x \log \left(e^{x}-1\right) =\frac{x}{\frac{1}{\log \left(e^{x}-1\right)}}\)

Comments

Und wie mache ich dann weiter? Ich teile doch immernoch durch 0 wenn ich l'Hospital anwende oder nicht?

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Ich habe es nicht nachgerechnet, aber: wäre das so schlimm?

Der Zähler x wird nach dem Ableiten zu 1. Damit hast du NICHT mehr den Fall "0*∞" und auch nicht mehr den Fall "0/0", sondern "1/Nenner". Was Besseres kann dir doch gar nicht passieren!

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PS: Ich glaube übrigens nicht, dass die Ableitung von \(\frac{1}{\log \left(e^{x}-1\right)}\) gegen 0 konvergiert.

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für x gegen 0 schon oder nicht?

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für x gegen 0 schon oder nicht?

Eher "oder nicht". Sie konvergiert gegen minus unendlich.

Deshalb konvergiert der Quotient 1:\(\frac{1}{\log \left(e^{x}-1\right)}\) gegen Null.

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Das verstehe ich nicht