a) ln(x) / (x-1) - sin(x-1) / (x-1)
= (ln(x) - sin(x-1) ) / (x-1) wieder Typ 0/0
also
( 1/x - cos(x-1) ) / 1 für x gegen 1 also (1 - 1 )/ 1 = 0
b) cot(x) =(cos(x)/sin(x) = (cos(x) -1)/sin(x)
also Grenzwert vom Typ 0/0
mit D ' Hospital Ableitung von Zähler und Nenner einzeln bilden:
-sin(x) / cos(x) und jetzt für x gegen 0 gibt es 0/1 = 0
c) (ln(x) -(x-1))/((x-1) *ln(x)) s.o.
(1/x - 1 ) / ( x-1)*(1/x) + 1*ln(x) )
= (1/x - 1 ) / 1-(1/x) + 1*ln(x) )
= ( 1 - x ) / ( x - 1 + x*ln(x) ) wieder Typ 0/0 also nochmal
-1 / ( 1 + 1*ln(x) + x*(1/x)
= -1 / (2 + ln(x) ) für x gegen 1 gibt das -1/2